Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23752 / 28375
↖ ↑ ↗
← N 23.448129°
W 49.526367°		 ← 560.35 m → N 23.448129°
W 49.520874°		 →
↑
560.39 m
↓
↑
560.39 m
↓
N 23.443089°
W 49.526367°		 ← 560.37 m →
314 022 m²		 N 23.443089°
W 49.520874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362434387207031 y=0.432975769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362434387207031 × 216)
    floor (0.362434387207031 × 65536)
    floor (23752.5)     		tx = 23752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432975769042969 × 216)
    floor (0.432975769042969 × 65536)
    floor (28375.5)     		ty = 28375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23752 / 28375 ti = "16/23752/28375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23752/28375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23752 ÷ 216
    23752 ÷ 65536     		x = 0.3624267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28375 ÷ 216
    28375 ÷ 65536     		y = 0.432968139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.275146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.86439817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432968139648438 × 2 - 1) × π
    0.134063720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.421173600061813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86439817} λ = -0.86439817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421173600061813))-π/2
    2×atan(1.52374877833159)-π/2
    2×0.990021686877581-π/2
    1.98004337375516-1.57079632675     		φ = 0.40924705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86439817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.526367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40924705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.448129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23752 KachelY 28375 -0.86439817 0.40924705 -49.526367 23.448129
    Oben rechts KachelX + 1 23753 KachelY 28375 -0.86430230 0.40924705 -49.520874 23.448129
    Unten links KachelX 23752 KachelY + 1 28376 -0.86439817 0.40915909 -49.526367 23.443089
    Unten rechts KachelX + 1 23753 KachelY + 1 28376 -0.86430230 0.40915909 -49.520874 23.443089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40924705-0.40915909) × R
    8.7959999999998e-05 × 6371000     		dl = 560.393159999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40924705-0.40915909) × R
    8.7959999999998e-05 × 6371000     		dr = 560.393159999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86439817--0.86430230) × cos(0.40924705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917420695708412 × 6371000     		do = 560.349340883577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86439817--0.86430230) × cos(0.40915909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917455693085462 × 6371000     		du = 560.370716853462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40924705)-sin(0.40915909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917420695708412-0.917455693085462)×R²
    abs(-0.86430230--0.86439817)×3.49973770499279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49973770499279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49973770499279e-05×40589641000000     		ar = 314021.927517788m²