Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23750 / 28346
↖ ↑ ↗
← N 23.594195°
W 49.537353°		 ← 559.73 m → N 23.594195°
W 49.531860°		 →
↑
559.82 m
↓
↑
559.82 m
↓
N 23.589160°
W 49.537353°		 ← 559.75 m →
313 353 m²		 N 23.589160°
W 49.531860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362403869628906 y=0.432533264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362403869628906 × 216)
    floor (0.362403869628906 × 65536)
    floor (23750.5)     		tx = 23750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432533264160156 × 216)
    floor (0.432533264160156 × 65536)
    floor (28346.5)     		ty = 28346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23750 / 28346 ti = "16/23750/28346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23750/28346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23750 ÷ 216
    23750 ÷ 65536     		x = 0.362396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28346 ÷ 216
    28346 ÷ 65536     		y = 0.432525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.27520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.86458992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432525634765625 × 2 - 1) × π
    0.13494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.423953940239777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86458992} λ = -0.86458992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423953940239777))-π/2
    2×atan(1.52799121325431)-π/2
    2×0.991296351065707-π/2
    1.98259270213141-1.57079632675     		φ = 0.41179638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86458992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.537353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41179638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.594195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23750 KachelY 28346 -0.86458992 0.41179638 -49.537353 23.594195
    Oben rechts KachelX + 1 23751 KachelY 28346 -0.86449405 0.41179638 -49.531860 23.594195
    Unten links KachelX 23750 KachelY + 1 28347 -0.86458992 0.41170851 -49.537353 23.589160
    Unten rechts KachelX + 1 23751 KachelY + 1 28347 -0.86449405 0.41170851 -49.531860 23.589160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41179638-0.41170851) × R
    8.78699999999899e-05 × 6371000     		dl = 559.819769999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41179638-0.41170851) × R
    8.78699999999899e-05 × 6371000     		dr = 559.819769999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86458992--0.86449405) × cos(0.41179638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916403289611731 × 6371000     		do = 559.727921682601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86458992--0.86449405) × cos(0.41170851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916438456584512 × 6371000     		du = 559.749401239484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41179638)-sin(0.41170851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916403289611731-0.916438456584512)×R²
    abs(-0.86449405--0.86458992)×3.51669727811643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51669727811643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51669727811643e-05×40589641000000     		ar = 313352.768920858m²