Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23745 / 31808
↖ ↑ ↗
← N 67.542167°
W114.782410°		 ← 116.65 m → N 67.542167°
W114.779663°		 →
↑
116.65 m
↓
↑
116.65 m
↓
N 67.541117°
W114.782410°		 ← 116.65 m →
13 608 m²		 N 67.541117°
W114.779663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181163787841797 y=0.242679595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181163787841797 × 217)
    floor (0.181163787841797 × 131072)
    floor (23745.5)     		tx = 23745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242679595947266 × 217)
    floor (0.242679595947266 × 131072)
    floor (31808.5)     		ty = 31808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23745 / 31808 ti = "17/23745/31808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23745/31808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23745 ÷ 217
    23745 ÷ 131072     		x = 0.181159973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31808 ÷ 217
    31808 ÷ 131072     		y = 0.24267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.181159973144531 × 2 - 1) × π
    -0.637680053710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.00333097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24267578125 × 2 - 1) × π
    0.5146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61681575038525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00333097} λ = -2.00333097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61681575038525))-π/2
    2×atan(5.03702560626779)-π/2
    2×1.3748147597102-π/2
    2.7496295194204-1.57079632675     		φ = 1.17883319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00333097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.782410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17883319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.542167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23745 KachelY 31808 -2.00333097 1.17883319 -114.782410 67.542167
    Oben rechts KachelX + 1 23746 KachelY 31808 -2.00328304 1.17883319 -114.779663 67.542167
    Unten links KachelX 23745 KachelY + 1 31809 -2.00333097 1.17881488 -114.782410 67.541117
    Unten rechts KachelX + 1 23746 KachelY + 1 31809 -2.00328304 1.17881488 -114.779663 67.541117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17883319-1.17881488) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dl = 116.653009999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17883319-1.17881488) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dr = 116.653009999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00333097--2.00328304) × cos(1.17883319) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382003404359244 × 6371000     		do = 116.649335022121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00333097--2.00328304) × cos(1.17881488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382020325681584 × 6371000     		du = 116.654502151461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17883319)-sin(1.17881488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382003404359244-0.382020325681584)×R²
    abs(-2.00328304--2.00333097)×1.69213223403797e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69213223403797e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69213223403797e-05×40589641000000     		ar = 13607.7974258373m²