Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23744 / 27840
↖ ↑ ↗
← N 26.115986°
W 49.570312°		 ← 548.43 m → N 26.115986°
W 49.564819°		 →
↑
548.48 m
↓
↑
548.48 m
↓
N 26.111053°
W 49.570312°		 ← 548.45 m →
300 808 m²		 N 26.111053°
W 49.564819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362312316894531 y=0.424812316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362312316894531 × 216)
    floor (0.362312316894531 × 65536)
    floor (23744.5)     		tx = 23744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424812316894531 × 216)
    floor (0.424812316894531 × 65536)
    floor (27840.5)     		ty = 27840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23744 / 27840 ti = "16/23744/27840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23744/27840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23744 ÷ 216
    23744 ÷ 65536     		x = 0.3623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27840 ÷ 216
    27840 ÷ 65536     		y = 0.4248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86516516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86516516} λ = -0.86516516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472466082655273))-π/2
    2×atan(1.60394478038089)-π/2
    2×1.01330313429217-π/2
    2.02660626858434-1.57079632675     		φ = 0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86516516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23744 KachelY 27840 -0.86516516 0.45580994 -49.570312 26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 23745 KachelY 27840 -0.86506929 0.45580994 -49.564819 26.115986
    Unten links KachelX 23744 KachelY + 1 27841 -0.86516516 0.45572385 -49.570312 26.111053
    Unten rechts KachelX + 1 23745 KachelY + 1 27841 -0.86506929 0.45572385 -49.564819 26.111053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45580994-0.45572385) × R
    8.60900000000386e-05 × 6371000     		dl = 548.479390000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45580994-0.45572385) × R
    8.60900000000386e-05 × 6371000     		dr = 548.479390000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86516516--0.86506929) × cos(0.45580994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 548.429267703629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86516516--0.86506929) × cos(0.45572385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897942688084607 × 6371000     		du = 548.45241204299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45580994)-sin(0.45572385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.897942688084607)×R²
    abs(-0.86506929--0.86516516)×3.78926044336536e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78926044336536e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78926044336536e-05×40589641000000     		ar = 300808.497490697m²