Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2374 / 1774
↖ ↑ ↗
← N 23.402765°
E 28.652344°		 ← 8 969.02 m → N 23.402765°
E 28.740235°		 →
↑
8 971.77 m
↓
↑
8 971.77 m
↓
N 23.322080°
E 28.652344°		 ← 8 974.47 m →
80 492 443 m²		 N 23.322080°
E 28.740235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5797119140625 y=0.4332275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5797119140625 × 212)
    floor (0.5797119140625 × 4096)
    floor (2374.5)     		tx = 2374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4332275390625 × 212)
    floor (0.4332275390625 × 4096)
    floor (1774.5)     		ty = 1774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2374 / 1774 ti = "12/2374/1774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2374/1774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2374 ÷ 212
    2374 ÷ 4096     		x = 0.57958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1774 ÷ 212
    1774 ÷ 4096     		y = 0.43310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57958984375 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43310546875 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.420310735868652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50007774} λ = 0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420310735868652))-π/2
    2×atan(1.52243455715014)-π/2
    2×0.98962581422671-π/2
    1.97925162845342-1.57079632675     		φ = 0.40845530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40845530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.402765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2374 KachelY 1774 0.50007774 0.40845530 28.652344 23.402765
    Oben rechts KachelX + 1 2375 KachelY 1774 0.50161172 0.40845530 28.740235 23.402765
    Unten links KachelX 2374 KachelY + 1 1775 0.50007774 0.40704708 28.652344 23.322080
    Unten rechts KachelX + 1 2375 KachelY + 1 1775 0.50161172 0.40704708 28.740235 23.322080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40845530-0.40704708) × R
    0.00140822000000002 × 6371000     		dl = 8971.7696200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40845530-0.40704708) × R
    0.00140822000000002 × 6371000     		dr = 8971.7696200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50007774-0.50161172) × cos(0.40845530) × R
    0.00153397999999993 × 0.917735460230772 × 6371000     		do = 8969.01633682508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50007774-0.50161172) × cos(0.40704708) × R
    0.00153397999999993 × 0.918293884039723 × 6371000     		du = 8974.47380521591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40845530)-sin(0.40704708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917735460230772-0.918293884039723)×R²
    abs(0.50161172-0.50007774)×0.000558423808950881×R²
    0.00153397999999993×0.000558423808950881×6371000²
    0.00153397999999993×0.000558423808950881×40589641000000     		ar = 80492443.168505m²