Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23738 / 31809
↖ ↑ ↗
← N 67.541117°
W114.801636°		 ← 116.68 m → N 67.541117°
W114.798889°		 →
↑
116.65 m
↓
↑
116.65 m
↓
N 67.540068°
W114.801636°		 ← 116.68 m →
13 611 m²		 N 67.540068°
W114.798889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181110382080078 y=0.242687225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181110382080078 × 217)
    floor (0.181110382080078 × 131072)
    floor (23738.5)     		tx = 23738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242687225341797 × 217)
    floor (0.242687225341797 × 131072)
    floor (31809.5)     		ty = 31809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23738 / 31809 ti = "17/23738/31809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23738/31809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23738 ÷ 217
    23738 ÷ 131072     		x = 0.181106567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31809 ÷ 217
    31809 ÷ 131072     		y = 0.242683410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.181106567382812 × 2 - 1) × π
    -0.637786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.00366653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242683410644531 × 2 - 1) × π
    0.514633178710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.61676781348563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00366653} λ = -2.00366653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61676781348563))-π/2
    2×atan(5.03678415266424)-π/2
    2×1.37480560347802-π/2
    2.74961120695604-1.57079632675     		φ = 1.17881488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00366653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.801636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17881488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.541117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23738 KachelY 31809 -2.00366653 1.17881488 -114.801636 67.541117
    Oben rechts KachelX + 1 23739 KachelY 31809 -2.00361859 1.17881488 -114.798889 67.541117
    Unten links KachelX 23738 KachelY + 1 31810 -2.00366653 1.17879657 -114.801636 67.540068
    Unten rechts KachelX + 1 23739 KachelY + 1 31810 -2.00361859 1.17879657 -114.798889 67.540068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17881488-1.17879657) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dl = 116.653009999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17881488-1.17879657) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dr = 116.653009999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00366653--2.00361859) × cos(1.17881488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382020325681584 × 6371000     		do = 116.678840666262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00366653--2.00361859) × cos(1.17879657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38203724687585 × 6371000     		du = 116.684008834543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17881488)-sin(1.17879657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382020325681584-0.38203724687585)×R²
    abs(-2.00361859--2.00366653)×1.69211942658287e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69211942658287e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69211942658287e-05×40589641000000     		ar = 13611.2394087036m²