Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23735 / 28351
↖ ↑ ↗
← N 23.569022°
W 49.619751°		 ← 559.89 m → N 23.569022°
W 49.614258°		 →
↑
559.88 m
↓
↑
559.88 m
↓
N 23.563987°
W 49.619751°		 ← 559.92 m →
313 481 m²		 N 23.563987°
W 49.614258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362174987792969 y=0.432609558105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362174987792969 × 216)
    floor (0.362174987792969 × 65536)
    floor (23735.5)     		tx = 23735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432609558105469 × 216)
    floor (0.432609558105469 × 65536)
    floor (28351.5)     		ty = 28351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23735 / 28351 ti = "16/23735/28351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23735/28351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23735 ÷ 216
    23735 ÷ 65536     		x = 0.362167358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28351 ÷ 216
    28351 ÷ 65536     		y = 0.432601928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362167358398438 × 2 - 1) × π
    -0.275665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.86602803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432601928710938 × 2 - 1) × π
    0.134796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.423474571243576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86602803} λ = -0.86602803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423474571243576))-π/2
    2×atan(1.52725891717425)-π/2
    2×0.991076682336507-π/2
    1.98215336467301-1.57079632675     		φ = 0.41135704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86602803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.619751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41135704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.569022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23735 KachelY 28351 -0.86602803 0.41135704 -49.619751 23.569022
    Oben rechts KachelX + 1 23736 KachelY 28351 -0.86593215 0.41135704 -49.614258 23.569022
    Unten links KachelX 23735 KachelY + 1 28352 -0.86602803 0.41126916 -49.619751 23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 23736 KachelY + 1 28352 -0.86593215 0.41126916 -49.614258 23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41135704-0.41126916) × R
    8.78799999999846e-05 × 6371000     		dl = 559.883479999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41135704-0.41126916) × R
    8.78799999999846e-05 × 6371000     		dr = 559.883479999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86602803--0.86593215) × cos(0.41135704) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.916579049714919 × 6371000     		do = 559.893669054985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86602803--0.86593215) × cos(0.41126916) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 559.915131681445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41135704)-sin(0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916579049714919-0.916614185303787)×R²
    abs(-0.86593215--0.86602803)×3.51355888682514e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.51355888682514e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.51355888682514e-05×40589641000000     		ar = 313481.224347298m²