Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23735 / 27416
↖ ↑ ↗
← N 28.188244°
W 49.619751°		 ← 538.40 m → N 28.188244°
W 49.614258°		 →
↑
538.35 m
↓
↑
538.35 m
↓
N 28.183402°
W 49.619751°		 ← 538.43 m →
289 856 m²		 N 28.183402°
W 49.614258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362174987792969 y=0.418342590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362174987792969 × 216)
    floor (0.362174987792969 × 65536)
    floor (23735.5)     		tx = 23735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418342590332031 × 216)
    floor (0.418342590332031 × 65536)
    floor (27416.5)     		ty = 27416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23735 / 27416 ti = "16/23735/27416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23735/27416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23735 ÷ 216
    23735 ÷ 65536     		x = 0.362167358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27416 ÷ 216
    27416 ÷ 65536     		y = 0.4183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362167358398438 × 2 - 1) × π
    -0.275665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.86602803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4183349609375 × 2 - 1) × π
    0.163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.513116573533081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86602803} λ = -0.86602803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513116573533081))-π/2
    2×atan(1.67048929332941)-π/2
    2×1.03138699434331-π/2
    2.06277398868662-1.57079632675     		φ = 0.49197766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86602803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.619751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49197766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.188244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23735 KachelY 27416 -0.86602803 0.49197766 -49.619751 28.188244
    Oben rechts KachelX + 1 23736 KachelY 27416 -0.86593215 0.49197766 -49.614258 28.188244
    Unten links KachelX 23735 KachelY + 1 27417 -0.86602803 0.49189316 -49.619751 28.183402
    Unten rechts KachelX + 1 23736 KachelY + 1 27417 -0.86593215 0.49189316 -49.614258 28.183402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49197766-0.49189316) × R
    8.44999999999874e-05 × 6371000     		dl = 538.34949999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49197766-0.49189316) × R
    8.44999999999874e-05 × 6371000     		dr = 538.34949999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86602803--0.86593215) × cos(0.49197766) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.88140039576013 × 6371000     		do = 538.404736222308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86602803--0.86593215) × cos(0.49189316) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.881440307871706 × 6371000     		du = 538.429116594734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49197766)-sin(0.49189316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88140039576013-0.881440307871706)×R²
    abs(-0.86593215--0.86602803)×3.99121115752799e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.99121115752799e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.99121115752799e-05×40589641000000     		ar = 289856.483296113m²