Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23728 / 27536
↖ ↑ ↗
← N 27.605671°
W 49.658203°		 ← 541.31 m → N 27.605671°
W 49.652710°		 →
↑
541.28 m
↓
↑
541.28 m
↓
N 27.600803°
W 49.658203°		 ← 541.33 m →
293 007 m²		 N 27.600803°
W 49.652710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362068176269531 y=0.420173645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362068176269531 × 216)
    floor (0.362068176269531 × 65536)
    floor (23728.5)     		tx = 23728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420173645019531 × 216)
    floor (0.420173645019531 × 65536)
    floor (27536.5)     		ty = 27536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23728 / 27536 ti = "16/23728/27536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23728/27536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23728 ÷ 216
    23728 ÷ 65536     		x = 0.362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27536 ÷ 216
    27536 ÷ 65536     		y = 0.420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.27587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86669915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420166015625 × 2 - 1) × π
    0.15966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.501611717624268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86669915} λ = -0.86669915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501611717624268))-π/2
    2×atan(1.65138068636749)-π/2
    2×1.02630308746288-π/2
    2.05260617492576-1.57079632675     		φ = 0.48180985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86669915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48180985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.605671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23728 KachelY 27536 -0.86669915 0.48180985 -49.658203 27.605671
    Oben rechts KachelX + 1 23729 KachelY 27536 -0.86660327 0.48180985 -49.652710 27.605671
    Unten links KachelX 23728 KachelY + 1 27537 -0.86669915 0.48172489 -49.658203 27.600803
    Unten rechts KachelX + 1 23729 KachelY + 1 27537 -0.86660327 0.48172489 -49.652710 27.600803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48180985-0.48172489) × R
    8.49599999999673e-05 × 6371000     		dl = 541.280159999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48180985-0.48172489) × R
    8.49599999999673e-05 × 6371000     		dr = 541.280159999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86669915--0.86660327) × cos(0.48180985) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.886157719493861 × 6371000     		do = 541.310754465895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86669915--0.86660327) × cos(0.48172489) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.886197085378653 × 6371000     		du = 541.334801174881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48180985)-sin(0.48172489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886157719493861-0.886197085378653)×R²
    abs(-0.86660327--0.86669915)×3.93658847916978e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.93658847916978e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.93658847916978e-05×40589641000000     		ar = 293007.279966427m²