Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23715 / 28373
↖ ↑ ↗
← N 23.458207°
W 49.729614°		 ← 560.31 m → N 23.458207°
W 49.724121°		 →
↑
560.33 m
↓
↑
560.33 m
↓
N 23.453168°
W 49.729614°		 ← 560.33 m →
313 962 m²		 N 23.453168°
W 49.724121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361869812011719 y=0.432945251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361869812011719 × 216)
    floor (0.361869812011719 × 65536)
    floor (23715.5)     		tx = 23715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432945251464844 × 216)
    floor (0.432945251464844 × 65536)
    floor (28373.5)     		ty = 28373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23715 / 28373 ti = "16/23715/28373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23715/28373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23715 ÷ 216
    23715 ÷ 65536     		x = 0.361862182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28373 ÷ 216
    28373 ÷ 65536     		y = 0.432937622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361862182617188 × 2 - 1) × π
    -0.276275634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86794550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432937622070312 × 2 - 1) × π
    0.134124755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.421365347660294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86794550} λ = -0.86794550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421365347660294))-π/2
    2×atan(1.52404098151426)-π/2
    2×0.990109640129386-π/2
    1.98021928025877-1.57079632675     		φ = 0.40942295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86794550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.729614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40942295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.458207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23715 KachelY 28373 -0.86794550 0.40942295 -49.729614 23.458207
    Oben rechts KachelX + 1 23716 KachelY 28373 -0.86784963 0.40942295 -49.724121 23.458207
    Unten links KachelX 23715 KachelY + 1 28374 -0.86794550 0.40933500 -49.729614 23.453168
    Unten rechts KachelX + 1 23716 KachelY + 1 28374 -0.86784963 0.40933500 -49.724121 23.453168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40942295-0.40933500) × R
    8.79500000000033e-05 × 6371000     		dl = 560.329450000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40942295-0.40933500) × R
    8.79500000000033e-05 × 6371000     		dr = 560.329450000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86794550--0.86784963) × cos(0.40942295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917350687622038 × 6371000     		do = 560.306580800619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86794550--0.86784963) × cos(0.40933500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917385695213307 × 6371000     		du = 560.327963009223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40942295)-sin(0.40933500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917350687622038-0.917385695213307)×R²
    abs(-0.86784963--0.86794550)×3.50075912691761e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50075912691761e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50075912691761e-05×40589641000000     		ar = 313962.268994471m²