Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2371 / 1933
↖ ↑ ↗
← N 10.055403°
E 28.388672°		 ← 9 622.93 m → N 10.055403°
E 28.476563°		 →
↑
9 624.16 m
↓
↑
9 624.16 m
↓
N  9.968851°
E 28.388672°		 ← 9 625.50 m →
92 624 989 m²		 N  9.968851°
E 28.476563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5789794921875 y=0.4720458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5789794921875 × 212)
    floor (0.5789794921875 × 4096)
    floor (2371.5)     		tx = 2371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4720458984375 × 212)
    floor (0.4720458984375 × 4096)
    floor (1933.5)     		ty = 1933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2371 / 1933 ti = "12/2371/1933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2371/1933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2371 ÷ 212
    2371 ÷ 4096     		x = 0.578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1933 ÷ 212
    1933 ÷ 4096     		y = 0.471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578857421875 × 2 - 1) × π
    0.15771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49547579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471923828125 × 2 - 1) × π
    0.05615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.176407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49547579} λ = 0.49547579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.176407790601807))-π/2
    2×atan(1.19292442284486)-π/2
    2×0.873148106078513-π/2
    1.74629621215703-1.57079632675     		φ = 0.17549989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49547579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.388672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17549989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.055403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2371 KachelY 1933 0.49547579 0.17549989 28.388672 10.055403
    Oben rechts KachelX + 1 2372 KachelY 1933 0.49700978 0.17549989 28.476563 10.055403
    Unten links KachelX 2371 KachelY + 1 1934 0.49547579 0.17398927 28.388672 9.968851
    Unten rechts KachelX + 1 2372 KachelY + 1 1934 0.49700978 0.17398927 28.476563 9.968851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17549989-0.17398927) × R
    0.00151061999999999 × 6371000     		dl = 9624.16001999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17549989-0.17398927) × R
    0.00151061999999999 × 6371000     		dr = 9624.16001999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49547579-0.49700978) × cos(0.17549989) × R
    0.00153398999999999 × 0.984639380954996 × 6371000     		do = 9622.93018758755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49547579-0.49700978) × cos(0.17398927) × R
    0.00153398999999999 × 0.984902012206852 × 6371000     		du = 9625.49689601966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17549989)-sin(0.17398927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984639380954996-0.984902012206852)×R²
    abs(0.49700978-0.49547579)×0.000262631251855772×R²
    0.00153398999999999×0.000262631251855772×6371000²
    0.00153398999999999×0.000262631251855772×40589641000000     		ar = 92624988.8069445m²