Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2371 / 1932
↖ ↑ ↗
← N 10.141932°
E 28.388672°		 ← 9 620.34 m → N 10.141932°
E 28.476563°		 →
↑
9 621.55 m
↓
↑
9 621.55 m
↓
N 10.055403°
E 28.388672°		 ← 9 622.93 m →
92 575 051 m²		 N 10.055403°
E 28.476563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5789794921875 y=0.4718017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5789794921875 × 212)
    floor (0.5789794921875 × 4096)
    floor (2371.5)     		tx = 2371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4718017578125 × 212)
    floor (0.4718017578125 × 4096)
    floor (1932.5)     		ty = 1932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2371 / 1932 ti = "12/2371/1932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2371/1932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2371 ÷ 212
    2371 ÷ 4096     		x = 0.578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1932 ÷ 212
    1932 ÷ 4096     		y = 0.4716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578857421875 × 2 - 1) × π
    0.15771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49547579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49547579} λ = 0.49547579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177941771389648))-π/2
    2×atan(1.19475575024226)-π/2
    2×0.873903213612608-π/2
    1.74780642722522-1.57079632675     		φ = 0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49547579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.388672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2371 KachelY 1932 0.49547579 0.17701010 28.388672 10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 2372 KachelY 1932 0.49700978 0.17701010 28.476563 10.141932
    Unten links KachelX 2371 KachelY + 1 1933 0.49547579 0.17549989 28.388672 10.055403
    Unten rechts KachelX + 1 2372 KachelY + 1 1933 0.49700978 0.17549989 28.476563 10.055403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17701010-0.17549989) × R
    0.00151021000000001 × 6371000     		dl = 9621.54791000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17701010-0.17549989) × R
    0.00151021000000001 × 6371000     		dr = 9621.54791000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49547579-0.49700978) × cos(0.17701010) × R
    0.00153398999999999 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 9620.34222546828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49547579-0.49700978) × cos(0.17549989) × R
    0.00153398999999999 × 0.984639380954996 × 6371000     		du = 9622.93018758755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17701010)-sin(0.17549989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.984639380954996)×R²
    abs(0.49700978-0.49547579)×0.000264805975870419×R²
    0.00153398999999999×0.000264805975870419×6371000²
    0.00153398999999999×0.000264805975870419×40589641000000     		ar = 92575051.328624m²