Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 237 / 125
↖ ↑ ↗
← N 67.339861°
W 13.359375°		 ← 30.121 km → N 67.339861°
W 12.656250°		 →
↑
30.293 km
↓
↑
30.293 km
↓
N 67.067433°
W 13.359375°		 ← 30.464 km →
917.650 km²		 N 67.067433°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4638671875 y=0.2451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4638671875 × 29)
    floor (0.4638671875 × 512)
    floor (237.5)     		tx = 237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2451171875 × 29)
    floor (0.2451171875 × 512)
    floor (125.5)     		ty = 125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 237 / 125 ti = "9/237/125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/237/125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 237 ÷ 29
    237 ÷ 512     		x = 0.462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 125 ÷ 29
    125 ÷ 512     		y = 0.244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462890625 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244140625 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6076118656582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23316508} λ = -0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6076118656582))-π/2
    2×atan(4.99087809716585)-π/2
    2×1.37304930800925-π/2
    2.7460986160185-1.57079632675     		φ = 1.17530229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17530229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.339861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 237 KachelY 125 -0.23316508 1.17530229 -13.359375 67.339861
    Oben rechts KachelX + 1 238 KachelY 125 -0.22089323 1.17530229 -12.656250 67.339861
    Unten links KachelX 237 KachelY + 1 126 -0.23316508 1.17054753 -13.359375 67.067433
    Unten rechts KachelX + 1 238 KachelY + 1 126 -0.22089323 1.17054753 -12.656250 67.067433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17530229-1.17054753) × R
    0.00475476000000019 × 6371000     		dl = 30292.5759600012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17530229-1.17054753) × R
    0.00475476000000019 × 6371000     		dr = 30292.5759600012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23316508--0.22089323) × cos(1.17530229) × R
    0.01227185 × 0.385264136093535 × 6371000     		do = 30121.4743995574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23316508--0.22089323) × cos(1.17054753) × R
    0.01227185 × 0.389647487277031 × 6371000     		du = 30464.1821371546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17530229)-sin(1.17054753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385264136093535-0.389647487277031)×R²
    abs(-0.22089323--0.23316508)×0.00438335118349636×R²
    0.01227185×0.00438335118349636×6371000²
    0.01227185×0.00438335118349636×40589641000000     		ar = 917649530.19517m²