Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23692 / 28243
↖ ↑ ↗
← N 24.111661°
W 49.855957°		 ← 557.50 m → N 24.111661°
W 49.850464°		 →
↑
557.59 m
↓
↑
557.59 m
↓
N 24.106647°
W 49.855957°		 ← 557.52 m →
310 861 m²		 N 24.106647°
W 49.850464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361518859863281 y=0.430961608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361518859863281 × 216)
    floor (0.361518859863281 × 65536)
    floor (23692.5)     		tx = 23692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430961608886719 × 216)
    floor (0.430961608886719 × 65536)
    floor (28243.5)     		ty = 28243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23692 / 28243 ti = "16/23692/28243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23692/28243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23692 ÷ 216
    23692 ÷ 65536     		x = 0.36151123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28243 ÷ 216
    28243 ÷ 65536     		y = 0.430953979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36151123046875 × 2 - 1) × π
    -0.2769775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87015060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430953979492188 × 2 - 1) × π
    0.138092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.433828941561508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87015060} λ = -0.87015060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433828941561508))-π/2
    2×atan(1.54315487587466)-π/2
    2×0.995812101151011-π/2
    1.99162420230202-1.57079632675     		φ = 0.42082788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87015060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42082788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.111661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23692 KachelY 28243 -0.87015060 0.42082788 -49.855957 24.111661
    Oben rechts KachelX + 1 23693 KachelY 28243 -0.87005473 0.42082788 -49.850464 24.111661
    Unten links KachelX 23692 KachelY + 1 28244 -0.87015060 0.42074036 -49.855957 24.106647
    Unten rechts KachelX + 1 23693 KachelY + 1 28244 -0.87005473 0.42074036 -49.850464 24.106647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42082788-0.42074036) × R
    8.75200000000076e-05 × 6371000     		dl = 557.589920000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42082788-0.42074036) × R
    8.75200000000076e-05 × 6371000     		dr = 557.589920000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87015060--0.87005473) × cos(0.42082788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912751050718143 × 6371000     		do = 557.497178833279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87015060--0.87005473) × cos(0.42074036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912786800563814 × 6371000     		du = 557.519014401794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42082788)-sin(0.42074036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912751050718143-0.912786800563814)×R²
    abs(-0.87005473--0.87015060)×3.57498456711181e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57498456711181e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57498456711181e-05×40589641000000     		ar = 310860.895190905m²