Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2369 / 1339
↖ ↑ ↗
← N 81.738988°
W127.946777°		 ← 351.05 m → N 81.738988°
W127.924805°		 →
↑
351.11 m
↓
↑
351.11 m
↓
N 81.735831°
W127.946777°		 ← 351.18 m →
123 278 m²		 N 81.735831°
W127.924805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144622802734375 y=0.081756591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144622802734375 × 214)
    floor (0.144622802734375 × 16384)
    floor (2369.5)     		tx = 2369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.081756591796875 × 214)
    floor (0.081756591796875 × 16384)
    floor (1339.5)     		ty = 1339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2369 / 1339 ti = "14/2369/1339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2369/1339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2369 ÷ 214
    2369 ÷ 16384     		x = 0.14459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1339 ÷ 214
    1339 ÷ 16384     		y = 0.08172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.7108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23309253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08172607421875 × 2 - 1) × π
    0.8365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62809258476996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23309253} λ = -2.23309253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62809258476996))-π/2
    2×atan(13.8473320840845)-π/2
    2×1.49870539793723-π/2
    2.99741079587446-1.57079632675     		φ = 1.42661447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23309253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.946777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42661447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.738988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2369 KachelY 1339 -2.23309253 1.42661447 -127.946777 81.738988
    Oben rechts KachelX + 1 2370 KachelY 1339 -2.23270904 1.42661447 -127.924805 81.738988
    Unten links KachelX 2369 KachelY + 1 1340 -2.23309253 1.42655936 -127.946777 81.735831
    Unten rechts KachelX + 1 2370 KachelY + 1 1340 -2.23270904 1.42655936 -127.924805 81.735831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42661447-1.42655936) × R
    5.51100000001359e-05 × 6371000     		dl = 351.105810000866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42661447-1.42655936) × R
    5.51100000001359e-05 × 6371000     		dr = 351.105810000866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23309253--2.23270904) × cos(1.42661447) × R
    0.000383489999999931 × 0.14368282390894 × 6371000     		do = 351.048000443225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23309253--2.23270904) × cos(1.42655936) × R
    0.000383489999999931 × 0.1437373618578 × 6371000     		du = 351.181248366495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42661447)-sin(1.42655936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14368282390894-0.1437373618578)×R²
    abs(-2.23270904--2.23309253)×5.45379488595676e-05×R²
    0.000383489999999931×5.45379488595676e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.45379488595676e-05×40589641000000     		ar = 123278.384637265m²