Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2369 / 1029
↖ ↑ ↗
← N 82.662267°
W127.946777°		 ← 312.04 m → N 82.662267°
W127.924805°		 →
↑
312.12 m
↓
↑
312.12 m
↓
N 82.659460°
W127.946777°		 ← 312.16 m →
97 412 m²		 N 82.659460°
W127.924805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144622802734375 y=0.062835693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144622802734375 × 214)
    floor (0.144622802734375 × 16384)
    floor (2369.5)     		tx = 2369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.062835693359375 × 214)
    floor (0.062835693359375 × 16384)
    floor (1029.5)     		ty = 1029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2369 / 1029 ti = "14/2369/1029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2369/1029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2369 ÷ 214
    2369 ÷ 16384     		x = 0.14459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1029 ÷ 214
    1029 ÷ 16384     		y = 0.06280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.7108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23309253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06280517578125 × 2 - 1) × π
    0.8743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.7469760958277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23309253} λ = -2.23309253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7469760958277))-π/2
    2×atan(15.5954015104195)-π/2
    2×1.50676252493064-π/2
    3.01352504986128-1.57079632675     		φ = 1.44272872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23309253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.946777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44272872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.662267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2369 KachelY 1029 -2.23309253 1.44272872 -127.946777 82.662267
    Oben rechts KachelX + 1 2370 KachelY 1029 -2.23270904 1.44272872 -127.924805 82.662267
    Unten links KachelX 2369 KachelY + 1 1030 -2.23309253 1.44267973 -127.946777 82.659460
    Unten rechts KachelX + 1 2370 KachelY + 1 1030 -2.23270904 1.44267973 -127.924805 82.659460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44272872-1.44267973) × R
    4.89900000000265e-05 × 6371000     		dl = 312.115290000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44272872-1.44267973) × R
    4.89900000000265e-05 × 6371000     		dr = 312.115290000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23309253--2.23270904) × cos(1.44272872) × R
    0.000383489999999931 × 0.127717814310161 × 6371000     		do = 312.042052869004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23309253--2.23270904) × cos(1.44267973) × R
    0.000383489999999931 × 0.127766402955546 × 6371000     		du = 312.160765366035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44272872)-sin(1.44267973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127717814310161-0.127766402955546)×R²
    abs(-2.23270904--2.23309253)×4.85886453850115e-05×R²
    0.000383489999999931×4.85886453850115e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.85886453850115e-05×40589641000000     		ar = 97411.6218352872m²