Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23689 / 27785
↖ ↑ ↗
← N 26.386949°
W 49.872436°		 ← 547.15 m → N 26.386949°
W 49.866943°		 →
↑
547.21 m
↓
↑
547.21 m
↓
N 26.382028°
W 49.872436°		 ← 547.17 m →
299 411 m²		 N 26.382028°
W 49.866943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361473083496094 y=0.423973083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361473083496094 × 216)
    floor (0.361473083496094 × 65536)
    floor (23689.5)     		tx = 23689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423973083496094 × 216)
    floor (0.423973083496094 × 65536)
    floor (27785.5)     		ty = 27785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23689 / 27785 ti = "16/23689/27785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23689/27785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23689 ÷ 216
    23689 ÷ 65536     		x = 0.361465454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27785 ÷ 216
    27785 ÷ 65536     		y = 0.423965454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361465454101562 × 2 - 1) × π
    -0.277069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87043822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423965454101562 × 2 - 1) × π
    0.152069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.47773914161348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87043822} λ = -0.87043822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47773914161348))-π/2
    2×atan(1.61242481398308)-π/2
    2×1.01566773257233-π/2
    2.03133546514467-1.57079632675     		φ = 0.46053914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87043822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.872436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46053914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.386949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23689 KachelY 27785 -0.87043822 0.46053914 -49.872436 26.386949
    Oben rechts KachelX + 1 23690 KachelY 27785 -0.87034235 0.46053914 -49.866943 26.386949
    Unten links KachelX 23689 KachelY + 1 27786 -0.87043822 0.46045325 -49.872436 26.382028
    Unten rechts KachelX + 1 23690 KachelY + 1 27786 -0.87034235 0.46045325 -49.866943 26.382028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46053914-0.46045325) × R
    8.58900000000329e-05 × 6371000     		dl = 547.20519000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46053914-0.46045325) × R
    8.58900000000329e-05 × 6371000     		dr = 547.20519000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87043822--0.87034235) × cos(0.46053914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895813017126076 × 6371000     		do = 547.151635067396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87043822--0.87034235) × cos(0.46045325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89585118601241 × 6371000     		du = 547.174948156363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46053914)-sin(0.46045325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895813017126076-0.89585118601241)×R²
    abs(-0.87034235--0.87043822)×3.81688863342333e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81688863342333e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81688863342333e-05×40589641000000     		ar = 299410.59313162m²