Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23688 / 27772
↖ ↑ ↗
← N 26.450902°
W 49.877930°		 ← 546.91 m → N 26.450902°
W 49.872436°		 →
↑
546.89 m
↓
↑
546.89 m
↓
N 26.445984°
W 49.877930°		 ← 546.93 m →
299 102 m²		 N 26.445984°
W 49.872436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361457824707031 y=0.423774719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361457824707031 × 216)
    floor (0.361457824707031 × 65536)
    floor (23688.5)     		tx = 23688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423774719238281 × 216)
    floor (0.423774719238281 × 65536)
    floor (27772.5)     		ty = 27772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23688 / 27772 ti = "16/23688/27772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23688/27772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23688 ÷ 216
    23688 ÷ 65536     		x = 0.3614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27772 ÷ 216
    27772 ÷ 65536     		y = 0.42376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87053410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42376708984375 × 2 - 1) × π
    0.1524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.478985501003601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87053410} λ = -0.87053410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478985501003601))-π/2
    2×atan(1.61443572769113)-π/2
    2×1.01622583035441-π/2
    2.03245166070882-1.57079632675     		φ = 0.46165533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87053410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.877930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46165533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.450902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23688 KachelY 27772 -0.87053410 0.46165533 -49.877930 26.450902
    Oben rechts KachelX + 1 23689 KachelY 27772 -0.87043822 0.46165533 -49.872436 26.450902
    Unten links KachelX 23688 KachelY + 1 27773 -0.87053410 0.46156949 -49.877930 26.445984
    Unten rechts KachelX + 1 23689 KachelY + 1 27773 -0.87043822 0.46156949 -49.872436 26.445984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46165533-0.46156949) × R
    8.58399999999482e-05 × 6371000     		dl = 546.88663999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46165533-0.46156949) × R
    8.58399999999482e-05 × 6371000     		dr = 546.88663999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87053410--0.87043822) × cos(0.46165533) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.895316389596988 × 6371000     		do = 546.905341653218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87053410--0.87043822) × cos(0.46156949) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.895354622074862 × 6371000     		du = 546.928696018912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46165533)-sin(0.46156949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895316389596988-0.895354622074862)×R²
    abs(-0.87043822--0.87053410)×3.8232477873934e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.8232477873934e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.8232477873934e-05×40589641000000     		ar = 299101.610973492m²