Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23682 / 27766
↖ ↑ ↗
← N 26.480407°
W 49.910889°		 ← 546.71 m → N 26.480407°
W 49.905396°		 →
↑
546.70 m
↓
↑
546.70 m
↓
N 26.475490°
W 49.910889°		 ← 546.73 m →
298 889 m²		 N 26.475490°
W 49.905396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361366271972656 y=0.423683166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361366271972656 × 216)
    floor (0.361366271972656 × 65536)
    floor (23682.5)     		tx = 23682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423683166503906 × 216)
    floor (0.423683166503906 × 65536)
    floor (27766.5)     		ty = 27766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23682 / 27766 ti = "16/23682/27766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23682/27766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23682 ÷ 216
    23682 ÷ 65536     		x = 0.361358642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27766 ÷ 216
    27766 ÷ 65536     		y = 0.423675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.27728271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87110934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423675537109375 × 2 - 1) × π
    0.15264892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.479560743799042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87110934} λ = -0.87110934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479560743799042))-π/2
    2×atan(1.61536468737525)-π/2
    2×1.01648330950544-π/2
    2.03296661901089-1.57079632675     		φ = 0.46217029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87110934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.910889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46217029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.480407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23682 KachelY 27766 -0.87110934 0.46217029 -49.910889 26.480407
    Oben rechts KachelX + 1 23683 KachelY 27766 -0.87101347 0.46217029 -49.905396 26.480407
    Unten links KachelX 23682 KachelY + 1 27767 -0.87110934 0.46208448 -49.910889 26.475490
    Unten rechts KachelX + 1 23683 KachelY + 1 27767 -0.87101347 0.46208448 -49.905396 26.475490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46217029-0.46208448) × R
    8.5809999999964e-05 × 6371000     		dl = 546.69550999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46217029-0.46208448) × R
    8.5809999999964e-05 × 6371000     		dr = 546.69550999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87110934--0.87101347) × cos(0.46217029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895086891870931 × 6371000     		do = 546.708126642065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87110934--0.87101347) × cos(0.46208448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895125150546845 × 6371000     		du = 546.73149457341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46217029)-sin(0.46208448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895086891870931-0.895125150546845)×R²
    abs(-0.87101347--0.87110934)×3.82586759146708e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82586759146708e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82586759146708e-05×40589641000000     		ar = 298889.265870663m²