Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2368 / 1344
↖ ↑ ↗
← N 81.723188°
W127.968750°		 ← 351.72 m → N 81.723188°
W127.946777°		 →
↑
351.81 m
↓
↑
351.81 m
↓
N 81.720024°
W127.968750°		 ← 351.86 m →
123 762 m²		 N 81.720024°
W127.946777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144561767578125 y=0.082061767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144561767578125 × 214)
    floor (0.144561767578125 × 16384)
    floor (2368.5)     		tx = 2368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.082061767578125 × 214)
    floor (0.082061767578125 × 16384)
    floor (1344.5)     		ty = 1344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2368 / 1344 ti = "14/2368/1344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2368/1344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2368 ÷ 214
    2368 ÷ 16384     		x = 0.14453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1344 ÷ 214
    1344 ÷ 16384     		y = 0.08203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14453125 × 2 - 1) × π
    -0.7109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23347603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08203125 × 2 - 1) × π
    0.8359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62617510878516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23347603} λ = -2.23347603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62617510878516))-π/2
    2×atan(13.8208055974377)-π/2
    2×1.49856751297347-π/2
    2.99713502594695-1.57079632675     		φ = 1.42633870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23347603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42633870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.723188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2368 KachelY 1344 -2.23347603 1.42633870 -127.968750 81.723188
    Oben rechts KachelX + 1 2369 KachelY 1344 -2.23309253 1.42633870 -127.946777 81.723188
    Unten links KachelX 2368 KachelY + 1 1345 -2.23347603 1.42628348 -127.968750 81.720024
    Unten rechts KachelX + 1 2369 KachelY + 1 1345 -2.23309253 1.42628348 -127.946777 81.720024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42633870-1.42628348) × R
    5.52200000001335e-05 × 6371000     		dl = 351.806620000851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42633870-1.42628348) × R
    5.52200000001335e-05 × 6371000     		dr = 351.806620000851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23347603--2.23309253) × cos(1.42633870) × R
    0.00038349999999987 × 0.143955726994628 × 6371000     		do = 351.723932717725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23347603--2.23309253) × cos(1.42628348) × R
    0.00038349999999987 × 0.144010371610734 × 6371000     		du = 351.857444733397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42633870)-sin(1.42628348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143955726994628-0.144010371610734)×R²
    abs(-2.23309253--2.23347603)×5.46446161056313e-05×R²
    0.00038349999999987×5.46446161056313e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.46446161056313e-05×40589641000000     		ar = 123762.29317954m²