Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2368 / 1341
↖ ↑ ↗
← N 81.732671°
W127.968750°		 ← 351.32 m → N 81.732671°
W127.946777°		 →
↑
351.36 m
↓
↑
351.36 m
↓
N 81.729511°
W127.968750°		 ← 351.46 m →
123 465 m²		 N 81.729511°
W127.946777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144561767578125 y=0.081878662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144561767578125 × 214)
    floor (0.144561767578125 × 16384)
    floor (2368.5)     		tx = 2368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.081878662109375 × 214)
    floor (0.081878662109375 × 16384)
    floor (1341.5)     		ty = 1341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2368 / 1341 ti = "14/2368/1341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2368/1341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2368 ÷ 214
    2368 ÷ 16384     		x = 0.14453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1341 ÷ 214
    1341 ÷ 16384     		y = 0.08184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14453125 × 2 - 1) × π
    -0.7109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23347603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08184814453125 × 2 - 1) × π
    0.8363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62732559437604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23347603} λ = -2.23347603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62732559437604))-π/2
    2×atan(13.836715385368)-π/2
    2×1.49865027534688-π/2
    2.99730055069376-1.57079632675     		φ = 1.42650422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23347603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42650422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.732671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2368 KachelY 1341 -2.23347603 1.42650422 -127.968750 81.732671
    Oben rechts KachelX + 1 2369 KachelY 1341 -2.23309253 1.42650422 -127.946777 81.732671
    Unten links KachelX 2368 KachelY + 1 1342 -2.23347603 1.42644907 -127.968750 81.729511
    Unten rechts KachelX + 1 2369 KachelY + 1 1342 -2.23309253 1.42644907 -127.946777 81.729511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42650422-1.42644907) × R
    5.51499999998928e-05 × 6371000     		dl = 351.360649999317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42650422-1.42644907) × R
    5.51499999998928e-05 × 6371000     		dr = 351.360649999317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23347603--2.23309253) × cos(1.42650422) × R
    0.00038349999999987 × 0.143791929058351 × 6371000     		do = 351.323728741675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23347603--2.23309253) × cos(1.42644907) × R
    0.00038349999999987 × 0.143846505717714 × 6371000     		du = 351.4570747201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42650422)-sin(1.42644907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143791929058351-0.143846505717714)×R²
    abs(-2.23309253--2.23347603)×5.45766593635366e-05×R²
    0.00038349999999987×5.45766593635366e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.45766593635366e-05×40589641000000     		ar = 123464.759988291m²