Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23679 / 27775
↖ ↑ ↗
← N 26.436147°
W 49.927368°		 ← 546.92 m → N 26.436147°
W 49.921875°		 →
↑
546.95 m
↓
↑
546.95 m
↓
N 26.431228°
W 49.927368°		 ← 546.94 m →
299 144 m²		 N 26.431228°
W 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361320495605469 y=0.423820495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361320495605469 × 216)
    floor (0.361320495605469 × 65536)
    floor (23679.5)     		tx = 23679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423820495605469 × 216)
    floor (0.423820495605469 × 65536)
    floor (27775.5)     		ty = 27775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23679 / 27775 ti = "16/23679/27775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23679/27775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23679 ÷ 216
    23679 ÷ 65536     		x = 0.361312866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27775 ÷ 216
    27775 ÷ 65536     		y = 0.423812866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361312866210938 × 2 - 1) × π
    -0.277374267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87139696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423812866210938 × 2 - 1) × π
    0.152374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.478697879605881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87139696} λ = -0.87139696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478697879605881))-π/2
    2×atan(1.61397144820216)-π/2
    2×1.01609706603222-π/2
    2.03219413206444-1.57079632675     		φ = 0.46139781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87139696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.927368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46139781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.436147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23679 KachelY 27775 -0.87139696 0.46139781 -49.927368 26.436147
    Oben rechts KachelX + 1 23680 KachelY 27775 -0.87130109 0.46139781 -49.921875 26.436147
    Unten links KachelX 23679 KachelY + 1 27776 -0.87139696 0.46131196 -49.927368 26.431228
    Unten rechts KachelX + 1 23680 KachelY + 1 27776 -0.87130109 0.46131196 -49.921875 26.431228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46139781-0.46131196) × R
    8.58499999999984e-05 × 6371000     		dl = 546.95034999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46139781-0.46131196) × R
    8.58499999999984e-05 × 6371000     		dr = 546.95034999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87139696--0.87130109) × cos(0.46139781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895431067238052 × 6371000     		do = 546.918344747038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87139696--0.87130109) × cos(0.46131196) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895469284374037 × 6371000     		du = 546.941687306302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46139781)-sin(0.46131196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895431067238052-0.895469284374037)×R²
    abs(-0.87130109--0.87139696)×3.82171359855077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82171359855077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82171359855077e-05×40589641000000     		ar = 299143.563874958m²