Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23674 / 28350
↖ ↑ ↗
← N 23.574057°
W 49.954834°		 ← 559.81 m → N 23.574057°
W 49.949341°		 →
↑
559.82 m
↓
↑
559.82 m
↓
N 23.569022°
W 49.954834°		 ← 559.84 m →
313 401 m²		 N 23.569022°
W 49.949341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361244201660156 y=0.432594299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361244201660156 × 216)
    floor (0.361244201660156 × 65536)
    floor (23674.5)     		tx = 23674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432594299316406 × 216)
    floor (0.432594299316406 × 65536)
    floor (28350.5)     		ty = 28350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23674 / 28350 ti = "16/23674/28350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23674/28350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23674 ÷ 216
    23674 ÷ 65536     		x = 0.361236572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28350 ÷ 216
    28350 ÷ 65536     		y = 0.432586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361236572265625 × 2 - 1) × π
    -0.27752685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87187633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432586669921875 × 2 - 1) × π
    0.13482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.423570445042816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87187633} λ = -0.87187633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423570445042816))-π/2
    2×atan(1.5274053483084)-π/2
    2×0.991120619452211-π/2
    1.98224123890442-1.57079632675     		φ = 0.41144491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87187633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.954834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41144491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.574057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23674 KachelY 28350 -0.87187633 0.41144491 -49.954834 23.574057
    Oben rechts KachelX + 1 23675 KachelY 28350 -0.87178046 0.41144491 -49.949341 23.574057
    Unten links KachelX 23674 KachelY + 1 28351 -0.87187633 0.41135704 -49.954834 23.569022
    Unten rechts KachelX + 1 23675 KachelY + 1 28351 -0.87178046 0.41135704 -49.949341 23.569022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41144491-0.41135704) × R
    8.78699999999899e-05 × 6371000     		dl = 559.819769999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41144491-0.41135704) × R
    8.78699999999899e-05 × 6371000     		dr = 559.819769999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87187633--0.87178046) × cos(0.41144491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916543911046748 × 6371000     		do = 559.813811535309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87187633--0.87178046) × cos(0.41135704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916579049714919 × 6371000     		du = 559.835273804082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41144491)-sin(0.41135704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916543911046748-0.916579049714919)×R²
    abs(-0.87178046--0.87187633)×3.51386681707311e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51386681707311e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51386681707311e-05×40589641000000     		ar = 313400.846919185m²