Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23670 / 27599
↖ ↑ ↗
← N 27.298571°
W 49.976807°		 ← 542.82 m → N 27.298571°
W 49.971313°		 →
↑
542.81 m
↓
↑
542.81 m
↓
N 27.293689°
W 49.976807°		 ← 542.84 m →
294 654 m²		 N 27.293689°
W 49.971313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361183166503906 y=0.421134948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361183166503906 × 216)
    floor (0.361183166503906 × 65536)
    floor (23670.5)     		tx = 23670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421134948730469 × 216)
    floor (0.421134948730469 × 65536)
    floor (27599.5)     		ty = 27599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23670 / 27599 ti = "16/23670/27599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23670/27599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23670 ÷ 216
    23670 ÷ 65536     		x = 0.361175537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27599 ÷ 216
    27599 ÷ 65536     		y = 0.421127319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361175537109375 × 2 - 1) × π
    -0.27764892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87225983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421127319335938 × 2 - 1) × π
    0.157745361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.49557166827214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87225983} λ = -0.87225983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.49557166827214))-π/2
    2×atan(1.6414363279631)-π/2
    2×1.02362313342606-π/2
    2.04724626685213-1.57079632675     		φ = 0.47644994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87225983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.976807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47644994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.298571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23670 KachelY 27599 -0.87225983 0.47644994 -49.976807 27.298571
    Oben rechts KachelX + 1 23671 KachelY 27599 -0.87216395 0.47644994 -49.971313 27.298571
    Unten links KachelX 23670 KachelY + 1 27600 -0.87225983 0.47636474 -49.976807 27.293689
    Unten rechts KachelX + 1 23671 KachelY + 1 27600 -0.87216395 0.47636474 -49.971313 27.293689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47644994-0.47636474) × R
    8.52000000000075e-05 × 6371000     		dl = 542.809200000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47644994-0.47636474) × R
    8.52000000000075e-05 × 6371000     		dr = 542.809200000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87225983--0.87216395) × cos(0.47644994) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.888628673755969 × 6371000     		do = 542.820140533915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87225983--0.87216395) × cos(0.47636474) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.888667745584006 × 6371000     		du = 542.844007617897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47644994)-sin(0.47636474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888628673755969-0.888667745584006)×R²
    abs(-0.87216395--0.87225983)×3.90718280363078e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.90718280363078e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.90718280363078e-05×40589641000000     		ar = 294654.244041703m²