Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2367 / 1343
↖ ↑ ↗
← N 81.726350°
W127.990723°		 ← 351.58 m → N 81.726350°
W127.968750°		 →
↑
351.68 m
↓
↑
351.68 m
↓
N 81.723188°
W127.990723°		 ← 351.71 m →
123 667 m²		 N 81.723188°
W127.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144500732421875 y=0.082000732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144500732421875 × 214)
    floor (0.144500732421875 × 16384)
    floor (2367.5)     		tx = 2367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.082000732421875 × 214)
    floor (0.082000732421875 × 16384)
    floor (1343.5)     		ty = 1343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2367 / 1343 ti = "14/2367/1343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2367/1343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2367 ÷ 214
    2367 ÷ 16384     		x = 0.14447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1343 ÷ 214
    1343 ÷ 16384     		y = 0.08197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.7110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23385952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08197021484375 × 2 - 1) × π
    0.8360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62655860398212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23385952} λ = -2.23385952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62655860398212))-π/2
    2×atan(13.8261068264354)-π/2
    2×1.49859511090151-π/2
    2.99719022180302-1.57079632675     		φ = 1.42639390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23385952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.990723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42639390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.726350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2367 KachelY 1343 -2.23385952 1.42639390 -127.990723 81.726350
    Oben rechts KachelX + 1 2368 KachelY 1343 -2.23347603 1.42639390 -127.968750 81.726350
    Unten links KachelX 2367 KachelY + 1 1344 -2.23385952 1.42633870 -127.990723 81.723188
    Unten rechts KachelX + 1 2368 KachelY + 1 1344 -2.23347603 1.42633870 -127.968750 81.723188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42639390-1.42633870) × R
    5.5200000000033e-05 × 6371000     		dl = 351.67920000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42639390-1.42633870) × R
    5.5200000000033e-05 × 6371000     		dr = 351.67920000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23385952--2.23347603) × cos(1.42639390) × R
    0.000383490000000375 × 0.143901101731407 × 6371000     		do = 351.581300047812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23385952--2.23347603) × cos(1.42633870) × R
    0.000383490000000375 × 0.143955726994628 × 6371000     		du = 351.714761298821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42639390)-sin(1.42633870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143901101731407-0.143955726994628)×R²
    abs(-2.23347603--2.23385952)×5.46252632208089e-05×R²
    0.000383490000000375×5.46252632208089e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.46252632208089e-05×40589641000000     		ar = 123667.298140597m²