Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23669 / 28149
↖ ↑ ↗
← N 24.582095°
W 49.982300°		 ← 555.43 m → N 24.582095°
W 49.976807°		 →
↑
555.49 m
↓
↑
555.49 m
↓
N 24.577100°
W 49.982300°		 ← 555.45 m →
308 540 m²		 N 24.577100°
W 49.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361167907714844 y=0.429527282714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361167907714844 × 216)
    floor (0.361167907714844 × 65536)
    floor (23669.5)     		tx = 23669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429527282714844 × 216)
    floor (0.429527282714844 × 65536)
    floor (28149.5)     		ty = 28149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23669 / 28149 ti = "16/23669/28149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23669/28149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23669 ÷ 216
    23669 ÷ 65536     		x = 0.361160278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28149 ÷ 216
    28149 ÷ 65536     		y = 0.429519653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361160278320312 × 2 - 1) × π
    -0.277679443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87235570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429519653320312 × 2 - 1) × π
    0.140960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.442841078690079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87235570} λ = -0.87235570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442841078690079))-π/2
    2×atan(1.55712485435581)-π/2
    2×0.999917412019342-π/2
    1.99983482403868-1.57079632675     		φ = 0.42903850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87235570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.982300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42903850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.582095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23669 KachelY 28149 -0.87235570 0.42903850 -49.982300 24.582095
    Oben rechts KachelX + 1 23670 KachelY 28149 -0.87225983 0.42903850 -49.976807 24.582095
    Unten links KachelX 23669 KachelY + 1 28150 -0.87235570 0.42895131 -49.982300 24.577100
    Unten rechts KachelX + 1 23670 KachelY + 1 28150 -0.87225983 0.42895131 -49.976807 24.577100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42903850-0.42895131) × R
    8.71900000000148e-05 × 6371000     		dl = 555.487490000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42903850-0.42895131) × R
    8.71900000000148e-05 × 6371000     		dr = 555.487490000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87235570--0.87225983) × cos(0.42903850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909366150728344 × 6371000     		do = 555.429723316837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87235570--0.87225983) × cos(0.42895131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909402418018734 × 6371000     		du = 555.451874934258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42903850)-sin(0.42895131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909366150728344-0.909402418018734)×R²
    abs(-0.87225983--0.87235570)×3.62672903901906e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62672903901906e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62672903901906e-05×40589641000000     		ar = 308540.415545253m²