Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23662 / 27857
↖ ↑ ↗
← N 26.032106°
W 50.020752°		 ← 548.88 m → N 26.032106°
W 50.015259°		 →
↑
548.86 m
↓
↑
548.86 m
↓
N 26.027170°
W 50.020752°		 ← 548.90 m →
301 265 m²		 N 26.027170°
W 50.015259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361061096191406 y=0.425071716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361061096191406 × 216)
    floor (0.361061096191406 × 65536)
    floor (23662.5)     		tx = 23662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425071716308594 × 216)
    floor (0.425071716308594 × 65536)
    floor (27857.5)     		ty = 27857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23662 / 27857 ti = "16/23662/27857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23662/27857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23662 ÷ 216
    23662 ÷ 65536     		x = 0.361053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27857 ÷ 216
    27857 ÷ 65536     		y = 0.425064086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361053466796875 × 2 - 1) × π
    -0.27789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87302682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425064086914062 × 2 - 1) × π
    0.149871826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.470836228068192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87302682} λ = -0.87302682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470836228068192))-π/2
    2×atan(1.60133271284651)-π/2
    2×1.01257114487955-π/2
    2.0251422897591-1.57079632675     		φ = 0.45434596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87302682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45434596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.032106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23662 KachelY 27857 -0.87302682 0.45434596 -50.020752 26.032106
    Oben rechts KachelX + 1 23663 KachelY 27857 -0.87293094 0.45434596 -50.015259 26.032106
    Unten links KachelX 23662 KachelY + 1 27858 -0.87302682 0.45425981 -50.020752 26.027170
    Unten rechts KachelX + 1 23663 KachelY + 1 27858 -0.87293094 0.45425981 -50.015259 26.027170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45434596-0.45425981) × R
    8.61500000000071e-05 × 6371000     		dl = 548.861650000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45434596-0.45425981) × R
    8.61500000000071e-05 × 6371000     		dr = 548.861650000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87302682--0.87293094) × cos(0.45434596) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.898548261965991 × 6371000     		do = 548.879535672994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87302682--0.87293094) × cos(0.45425981) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.898586067688744 × 6371000     		du = 548.90262935469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45434596)-sin(0.45425981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898548261965991-0.898586067688744)×R²
    abs(-0.87293094--0.87302682)×3.78057227528039e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.78057227528039e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.78057227528039e-05×40589641000000     		ar = 301265.265405169m²