Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2365 / 1342
↖ ↑ ↗
← N 81.729511°
W128.034668°		 ← 351.45 m → N 81.729511°
W128.012695°		 →
↑
351.49 m
↓
↑
351.49 m
↓
N 81.726350°
W128.034668°		 ← 351.58 m →
123 553 m²		 N 81.726350°
W128.012695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144378662109375 y=0.081939697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144378662109375 × 214)
    floor (0.144378662109375 × 16384)
    floor (2365.5)     		tx = 2365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.081939697265625 × 214)
    floor (0.081939697265625 × 16384)
    floor (1342.5)     		ty = 1342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2365 / 1342 ti = "14/2365/1342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2365/1342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2365 ÷ 214
    2365 ÷ 16384     		x = 0.14434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1342 ÷ 214
    1342 ÷ 16384     		y = 0.0819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.7113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23462651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0819091796875 × 2 - 1) × π
    0.836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62694209917908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23462651} λ = -2.23462651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62694209917908))-π/2
    2×atan(13.8314100888189)-π/2
    2×1.49862269835802-π/2
    2.99724539671603-1.57079632675     		φ = 1.42644907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23462651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.034668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42644907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.729511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2365 KachelY 1342 -2.23462651 1.42644907 -128.034668 81.729511
    Oben rechts KachelX + 1 2366 KachelY 1342 -2.23424302 1.42644907 -128.012695 81.729511
    Unten links KachelX 2365 KachelY + 1 1343 -2.23462651 1.42639390 -128.034668 81.726350
    Unten rechts KachelX + 1 2366 KachelY + 1 1343 -2.23424302 1.42639390 -128.012695 81.726350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42644907-1.42639390) × R
    5.51699999999933e-05 × 6371000     		dl = 351.488069999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42644907-1.42639390) × R
    5.51699999999933e-05 × 6371000     		dr = 351.488069999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23462651--2.23424302) × cos(1.42644907) × R
    0.000383489999999931 × 0.143846505717714 × 6371000     		do = 351.447910259276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23462651--2.23424302) × cos(1.42639390) × R
    0.000383489999999931 × 0.143901101731407 × 6371000     		du = 351.581300047405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42644907)-sin(1.42639390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143846505717714-0.143901101731407)×R²
    abs(-2.23424302--2.23462651)×5.45960136927592e-05×R²
    0.000383489999999931×5.45960136927592e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.45960136927592e-05×40589641000000     		ar = 123553.190172125m²