Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23636 / 27669
↖ ↑ ↗
← N 26.956349°
W 50.163574°		 ← 544.43 m → N 26.956349°
W 50.158081°		 →
↑
544.47 m
↓
↑
544.47 m
↓
N 26.951453°
W 50.163574°		 ← 544.45 m →
296 428 m²		 N 26.951453°
W 50.158081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360664367675781 y=0.422203063964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360664367675781 × 216)
    floor (0.360664367675781 × 65536)
    floor (23636.5)     		tx = 23636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422203063964844 × 216)
    floor (0.422203063964844 × 65536)
    floor (27669.5)     		ty = 27669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23636 / 27669 ti = "16/23636/27669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23636/27669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23636 ÷ 216
    23636 ÷ 65536     		x = 0.36065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27669 ÷ 216
    27669 ÷ 65536     		y = 0.422195434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36065673828125 × 2 - 1) × π
    -0.2786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87551953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422195434570312 × 2 - 1) × π
    0.155609130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.488860502325333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87551953} λ = -0.87551953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488860502325333))-π/2
    2×atan(1.63045725876055)-π/2
    2×1.02063669022946-π/2
    2.04127338045892-1.57079632675     		φ = 0.47047705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87551953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47047705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.956349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23636 KachelY 27669 -0.87551953 0.47047705 -50.163574 26.956349
    Oben rechts KachelX + 1 23637 KachelY 27669 -0.87542366 0.47047705 -50.158081 26.956349
    Unten links KachelX 23636 KachelY + 1 27670 -0.87551953 0.47039159 -50.163574 26.951453
    Unten rechts KachelX + 1 23637 KachelY + 1 27670 -0.87542366 0.47039159 -50.158081 26.951453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47047705-0.47039159) × R
    8.54599999999817e-05 × 6371000     		dl = 544.465659999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47047705-0.47039159) × R
    8.54599999999817e-05 × 6371000     		dr = 544.465659999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87551953--0.87542366) × cos(0.47047705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891352137351 × 6371000     		do = 544.426984257339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87551953--0.87542366) × cos(0.47039159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891390874101614 × 6371000     		du = 544.450644190863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47047705)-sin(0.47039159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891352137351-0.891390874101614)×R²
    abs(-0.87542366--0.87551953)×3.87367506140546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87367506140546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87367506140546e-05×40589641000000     		ar = 296428.23849653m²