Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23635 / 27670
↖ ↑ ↗
← N 26.951453°
W 50.169067°		 ← 544.51 m → N 26.951453°
W 50.163574°		 →
↑
544.47 m
↓
↑
544.47 m
↓
N 26.946556°
W 50.169067°		 ← 544.53 m →
296 472 m²		 N 26.946556°
W 50.163574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360649108886719 y=0.422218322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360649108886719 × 216)
    floor (0.360649108886719 × 65536)
    floor (23635.5)     		tx = 23635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422218322753906 × 216)
    floor (0.422218322753906 × 65536)
    floor (27670.5)     		ty = 27670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23635 / 27670 ti = "16/23635/27670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23635/27670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23635 ÷ 216
    23635 ÷ 65536     		x = 0.360641479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27670 ÷ 216
    27670 ÷ 65536     		y = 0.422210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360641479492188 × 2 - 1) × π
    -0.278717041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87561541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422210693359375 × 2 - 1) × π
    0.15557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.488764628526093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87561541} λ = -0.87561541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488764628526093))-π/2
    2×atan(1.63030094812182)-π/2
    2×1.02059396064313-π/2
    2.04118792128627-1.57079632675     		φ = 0.47039159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87561541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.169067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47039159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.951453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23635 KachelY 27670 -0.87561541 0.47039159 -50.169067 26.951453
    Oben rechts KachelX + 1 23636 KachelY 27670 -0.87551953 0.47039159 -50.163574 26.951453
    Unten links KachelX 23635 KachelY + 1 27671 -0.87561541 0.47030613 -50.169067 26.946556
    Unten rechts KachelX + 1 23636 KachelY + 1 27671 -0.87551953 0.47030613 -50.163574 26.946556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47039159-0.47030613) × R
    8.54600000000372e-05 × 6371000     		dl = 544.465660000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47039159-0.47030613) × R
    8.54600000000372e-05 × 6371000     		dr = 544.465660000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87561541--0.87551953) × cos(0.47039159) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.891390874101614 × 6371000     		do = 544.507434703107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87561541--0.87551953) × cos(0.47030613) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.891429604342033 × 6371000     		du = 544.531093127788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47039159)-sin(0.47030613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891390874101614-0.891429604342033)×R²
    abs(-0.87551953--0.87561541)×3.873024041956e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.873024041956e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.873024041956e-05×40589641000000     		ar = 296472.040591079m²