Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2363 / 1340
↖ ↑ ↗
← N 81.735831°
W128.078613°		 ← 351.18 m → N 81.735831°
W128.056641°		 →
↑
351.30 m
↓
↑
351.30 m
↓
N 81.732671°
W128.078613°		 ← 351.31 m →
123 392 m²		 N 81.732671°
W128.056641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144256591796875 y=0.081817626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144256591796875 × 214)
    floor (0.144256591796875 × 16384)
    floor (2363.5)     		tx = 2363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.081817626953125 × 214)
    floor (0.081817626953125 × 16384)
    floor (1340.5)     		ty = 1340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2363 / 1340 ti = "14/2363/1340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2363/1340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2363 ÷ 214
    2363 ÷ 16384     		x = 0.14422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1340 ÷ 214
    1340 ÷ 16384     		y = 0.081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.7115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23539350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081787109375 × 2 - 1) × π
    0.83642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.627709089573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23539350} λ = -2.23539350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.627709089573))-π/2
    2×atan(13.842022716863)-π/2
    2×1.49867784187199-π/2
    2.99735568374397-1.57079632675     		φ = 1.42655936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23539350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.078613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42655936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.735831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2363 KachelY 1340 -2.23539350 1.42655936 -128.078613 81.735831
    Oben rechts KachelX + 1 2364 KachelY 1340 -2.23501001 1.42655936 -128.056641 81.735831
    Unten links KachelX 2363 KachelY + 1 1341 -2.23539350 1.42650422 -128.078613 81.732671
    Unten rechts KachelX + 1 2364 KachelY + 1 1341 -2.23501001 1.42650422 -128.056641 81.732671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42655936-1.42650422) × R
    5.51399999999536e-05 × 6371000     		dl = 351.296939999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42655936-1.42650422) × R
    5.51399999999536e-05 × 6371000     		dr = 351.296939999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23539350--2.23501001) × cos(1.42655936) × R
    0.000383489999999931 × 0.1437373618578 × 6371000     		do = 351.181248366495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23539350--2.23501001) × cos(1.42650422) × R
    0.000383489999999931 × 0.143791929058351 × 6371000     		du = 351.31456775793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42655936)-sin(1.42650422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1437373618578-0.143791929058351)×R²
    abs(-2.23501001--2.23539350)×5.45672005512754e-05×R²
    0.000383489999999931×5.45672005512754e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.45672005512754e-05×40589641000000     		ar = 123392.315313753m²