Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23624 / 28503
↖ ↑ ↗
← N 22.801503°
W 50.229492°		 ← 563.06 m → N 22.801503°
W 50.223999°		 →
↑
563.13 m
↓
↑
563.13 m
↓
N 22.796439°
W 50.229492°		 ← 563.08 m →
317 081 m²		 N 22.796439°
W 50.223999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360481262207031 y=0.434928894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360481262207031 × 216)
    floor (0.360481262207031 × 65536)
    floor (23624.5)     		tx = 23624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434928894042969 × 216)
    floor (0.434928894042969 × 65536)
    floor (28503.5)     		ty = 28503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23624 / 28503 ti = "16/23624/28503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23624/28503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23624 ÷ 216
    23624 ÷ 65536     		x = 0.3604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28503 ÷ 216
    28503 ÷ 65536     		y = 0.434921264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3604736328125 × 2 - 1) × π
    -0.279052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87667002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434921264648438 × 2 - 1) × π
    0.130157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.408901753759079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87667002} λ = -0.87667002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408901753759079))-π/2
    2×atan(1.50516383653225)-π/2
    2×0.984378816927488-π/2
    1.96875763385498-1.57079632675     		φ = 0.39796131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87667002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39796131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.801503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23624 KachelY 28503 -0.87667002 0.39796131 -50.229492 22.801503
    Oben rechts KachelX + 1 23625 KachelY 28503 -0.87657415 0.39796131 -50.223999 22.801503
    Unten links KachelX 23624 KachelY + 1 28504 -0.87667002 0.39787292 -50.229492 22.796439
    Unten rechts KachelX + 1 23625 KachelY + 1 28504 -0.87657415 0.39787292 -50.223999 22.796439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39796131-0.39787292) × R
    8.83899999999938e-05 × 6371000     		dl = 563.13268999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39796131-0.39787292) × R
    8.83899999999938e-05 × 6371000     		dr = 563.13268999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87667002--0.87657415) × cos(0.39796131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.921852982650822 × 6371000     		do = 563.056527541132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87667002--0.87657415) × cos(0.39787292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9218872336905 × 6371000     		du = 563.077447657277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39796131)-sin(0.39787292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921852982650822-0.9218872336905)×R²
    abs(-0.87657415--0.87667002)×3.42510396782458e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42510396782458e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42510396782458e-05×40589641000000     		ar = 317081.427583494m²