Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23624 / 27656
↖ ↑ ↗
← N 27.019984°
W 50.229492°		 ← 544.12 m → N 27.019984°
W 50.223999°		 →
↑
544.15 m
↓
↑
544.15 m
↓
N 27.015090°
W 50.229492°		 ← 544.14 m →
296 087 m²		 N 27.015090°
W 50.223999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360481262207031 y=0.422004699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360481262207031 × 216)
    floor (0.360481262207031 × 65536)
    floor (23624.5)     		tx = 23624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422004699707031 × 216)
    floor (0.422004699707031 × 65536)
    floor (27656.5)     		ty = 27656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23624 / 27656 ti = "16/23624/27656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23624/27656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23624 ÷ 216
    23624 ÷ 65536     		x = 0.3604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27656 ÷ 216
    27656 ÷ 65536     		y = 0.4219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3604736328125 × 2 - 1) × π
    -0.279052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87667002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4219970703125 × 2 - 1) × π
    0.156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.490106861715454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87667002} λ = -0.87667002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490106861715454))-π/2
    2×atan(1.6324906613872)-π/2
    2×1.02119200577896-π/2
    2.04238401155793-1.57079632675     		φ = 0.47158768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87667002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47158768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.019984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23624 KachelY 27656 -0.87667002 0.47158768 -50.229492 27.019984
    Oben rechts KachelX + 1 23625 KachelY 27656 -0.87657415 0.47158768 -50.223999 27.019984
    Unten links KachelX 23624 KachelY + 1 27657 -0.87667002 0.47150227 -50.229492 27.015090
    Unten rechts KachelX + 1 23625 KachelY + 1 27657 -0.87657415 0.47150227 -50.223999 27.015090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47158768-0.47150227) × R
    8.5410000000008e-05 × 6371000     		dl = 544.147110000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47158768-0.47150227) × R
    8.5410000000008e-05 × 6371000     		dr = 544.147110000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87667002--0.87657415) × cos(0.47158768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890848126299601 × 6371000     		do = 544.1191404712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87667002--0.87657415) × cos(0.47150227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890886924919077 × 6371000     		du = 544.142838193469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47158768)-sin(0.47150227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890848126299601-0.890886924919077)×R²
    abs(-0.87657415--0.87667002)×3.87986194764212e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87986194764212e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87986194764212e-05×40589641000000     		ar = 296087.30548668m²