Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23622 / 27810
↖ ↑ ↗
← N 26.263862°
W 50.240479°		 ← 547.79 m → N 26.263862°
W 50.234985°		 →
↑
547.78 m
↓
↑
547.78 m
↓
N 26.258936°
W 50.240479°		 ← 547.81 m →
300 074 m²		 N 26.258936°
W 50.234985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360450744628906 y=0.424354553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360450744628906 × 216)
    floor (0.360450744628906 × 65536)
    floor (23622.5)     		tx = 23622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424354553222656 × 216)
    floor (0.424354553222656 × 65536)
    floor (27810.5)     		ty = 27810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23622 / 27810 ti = "16/23622/27810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23622/27810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23622 ÷ 216
    23622 ÷ 65536     		x = 0.360443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27810 ÷ 216
    27810 ÷ 65536     		y = 0.424346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.27911376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87686177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424346923828125 × 2 - 1) × π
    0.15130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.475342296632477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87686177} λ = -0.87686177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475342296632477))-π/2
    2×atan(1.60856470954439)-π/2
    2×1.0145935989305-π/2
    2.029187197861-1.57079632675     		φ = 0.45839087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87686177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.240479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45839087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.263862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23622 KachelY 27810 -0.87686177 0.45839087 -50.240479 26.263862
    Oben rechts KachelX + 1 23623 KachelY 27810 -0.87676589 0.45839087 -50.234985 26.263862
    Unten links KachelX 23622 KachelY + 1 27811 -0.87686177 0.45830489 -50.240479 26.258936
    Unten rechts KachelX + 1 23623 KachelY + 1 27811 -0.87676589 0.45830489 -50.234985 26.258936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45839087-0.45830489) × R
    8.59799999999855e-05 × 6371000     		dl = 547.778579999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45839087-0.45830489) × R
    8.59799999999855e-05 × 6371000     		dr = 547.778579999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87686177--0.87676589) × cos(0.45839087) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.896765707360773 × 6371000     		do = 547.790659554216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87686177--0.87676589) × cos(0.45830489) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.896803750683352 × 6371000     		du = 547.813898374118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45839087)-sin(0.45830489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896765707360773-0.896803750683352)×R²
    abs(-0.87676589--0.87686177)×3.80433225796173e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.80433225796173e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.80433225796173e-05×40589641000000     		ar = 300074.354676484m²