Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2362 / 1738
↖ ↑ ↗
← N 26.273714°
E 27.597656°		 ← 8 763.34 m → N 26.273714°
E 27.685547°		 →
↑
8 766.30 m
↓
↑
8 766.30 m
↓
N 26.194877°
E 27.597656°		 ← 8 769.28 m →
76 848 137 m²		 N 26.194877°
E 27.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5767822265625 y=0.4244384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5767822265625 × 212)
    floor (0.5767822265625 × 4096)
    floor (2362.5)     		tx = 2362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4244384765625 × 212)
    floor (0.4244384765625 × 4096)
    floor (1738.5)     		ty = 1738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2362 / 1738 ti = "12/2362/1738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2362/1738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2362 ÷ 212
    2362 ÷ 4096     		x = 0.57666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1738 ÷ 212
    1738 ÷ 4096     		y = 0.42431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57666015625 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48166997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48166997} λ = 0.48166997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475534044230957))-π/2
    2×atan(1.6088731775375)-π/2
    2×1.01467957161801-π/2
    2.02935914323601-1.57079632675     		φ = 0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48166997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2362 KachelY 1738 0.48166997 0.45856282 27.597656 26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 2363 KachelY 1738 0.48320395 0.45856282 27.685547 26.273714
    Unten links KachelX 2362 KachelY + 1 1739 0.48166997 0.45718685 27.597656 26.194877
    Unten rechts KachelX + 1 2363 KachelY + 1 1739 0.48320395 0.45718685 27.685547 26.194877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45856282-0.45718685) × R
    0.00137597 × 6371000     		dl = 8766.30487000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45856282-0.45718685) × R
    0.00137597 × 6371000     		dr = 8766.30487000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48166997-0.48320395) × cos(0.45856282) × R
    0.00153397999999999 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 8763.33547857581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48166997-0.48320395) × cos(0.45718685) × R
    0.00153397999999999 × 0.897297842901807 × 6371000     		du = 8769.27977694225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45856282)-sin(0.45718685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.897297842901807)×R²
    abs(0.48320395-0.48166997)×0.000608237647497289×R²
    0.00153397999999999×0.000608237647497289×6371000²
    0.00153397999999999×0.000608237647497289×40589641000000     		ar = 76848137.3738156m²