Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23618 / 27654
↖ ↑ ↗
← N 27.029771°
W 50.262451°		 ← 544.07 m → N 27.029771°
W 50.256958°		 →
↑
544.15 m
↓
↑
544.15 m
↓
N 27.024877°
W 50.262451°		 ← 544.10 m →
296 062 m²		 N 27.024877°
W 50.256958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360389709472656 y=0.421974182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360389709472656 × 216)
    floor (0.360389709472656 × 65536)
    floor (23618.5)     		tx = 23618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421974182128906 × 216)
    floor (0.421974182128906 × 65536)
    floor (27654.5)     		ty = 27654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23618 / 27654 ti = "16/23618/27654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23618/27654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23618 ÷ 216
    23618 ÷ 65536     		x = 0.360382080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27654 ÷ 216
    27654 ÷ 65536     		y = 0.421966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360382080078125 × 2 - 1) × π
    -0.27923583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87724526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421966552734375 × 2 - 1) × π
    0.15606689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.490298609313934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87724526} λ = -0.87724526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490298609313934))-π/2
    2×atan(1.63280371756398)-π/2
    2×1.02127741105282-π/2
    2.04255482210565-1.57079632675     		φ = 0.47175850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87724526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.262451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47175850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.029771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23618 KachelY 27654 -0.87724526 0.47175850 -50.262451 27.029771
    Oben rechts KachelX + 1 23619 KachelY 27654 -0.87714939 0.47175850 -50.256958 27.029771
    Unten links KachelX 23618 KachelY + 1 27655 -0.87724526 0.47167309 -50.262451 27.024877
    Unten rechts KachelX + 1 23619 KachelY + 1 27655 -0.87714939 0.47167309 -50.256958 27.024877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47175850-0.47167309) × R
    8.5410000000008e-05 × 6371000     		dl = 544.147110000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47175850-0.47167309) × R
    8.5410000000008e-05 × 6371000     		dr = 544.147110000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87724526--0.87714939) × cos(0.47175850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890770509565072 × 6371000     		do = 544.071733119002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87724526--0.87714939) × cos(0.47167309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890809321181505 × 6371000     		du = 544.095438779653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47175850)-sin(0.47167309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890770509565072-0.890809321181505)×R²
    abs(-0.87714939--0.87724526)×3.88116164325991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88116164325991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88116164325991e-05×40589641000000     		ar = 296061.511072804m²