Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23617 / 27641
↖ ↑ ↗
← N 27.093364°
W 50.267945°		 ← 543.82 m → N 27.093364°
W 50.262451°		 →
↑
543.76 m
↓
↑
543.76 m
↓
N 27.088473°
W 50.267945°		 ← 543.84 m →
295 717 m²		 N 27.088473°
W 50.262451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360374450683594 y=0.421775817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360374450683594 × 216)
    floor (0.360374450683594 × 65536)
    floor (23617.5)     		tx = 23617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421775817871094 × 216)
    floor (0.421775817871094 × 65536)
    floor (27641.5)     		ty = 27641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23617 / 27641 ti = "16/23617/27641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23617/27641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23617 ÷ 216
    23617 ÷ 65536     		x = 0.360366821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27641 ÷ 216
    27641 ÷ 65536     		y = 0.421768188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360366821289062 × 2 - 1) × π
    -0.279266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87734114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421768188476562 × 2 - 1) × π
    0.156463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.491544968704056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87734114} λ = -0.87734114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491544968704056))-π/2
    2×atan(1.63484004654486)-π/2
    2×1.02183236385381-π/2
    2.04366472770762-1.57079632675     		φ = 0.47286840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87734114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.267945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47286840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.093364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23617 KachelY 27641 -0.87734114 0.47286840 -50.267945 27.093364
    Oben rechts KachelX + 1 23618 KachelY 27641 -0.87724526 0.47286840 -50.262451 27.093364
    Unten links KachelX 23617 KachelY + 1 27642 -0.87734114 0.47278305 -50.267945 27.088473
    Unten rechts KachelX + 1 23618 KachelY + 1 27642 -0.87724526 0.47278305 -50.262451 27.088473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47286840-0.47278305) × R
    8.53500000000396e-05 × 6371000     		dl = 543.764850000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47286840-0.47278305) × R
    8.53500000000396e-05 × 6371000     		dr = 543.764850000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87734114--0.87724526) × cos(0.47286840) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.890265563171768 × 6371000     		do = 543.820036856151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87734114--0.87724526) × cos(0.47278305) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.890304431886149 × 6371000     		du = 543.843779867857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47286840)-sin(0.47278305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890265563171768-0.890304431886149)×R²
    abs(-0.87724526--0.87734114)×3.88687143816346e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.88687143816346e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.88687143816346e-05×40589641000000     		ar = 295716.67625545m²