Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23613 / 27643
↖ ↑ ↗
← N 27.083583°
W 50.289917°		 ← 543.81 m → N 27.083583°
W 50.284424°		 →
↑
543.89 m
↓
↑
543.89 m
↓
N 27.078691°
W 50.289917°		 ← 543.83 m →
295 781 m²		 N 27.078691°
W 50.284424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360313415527344 y=0.421806335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360313415527344 × 216)
    floor (0.360313415527344 × 65536)
    floor (23613.5)     		tx = 23613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421806335449219 × 216)
    floor (0.421806335449219 × 65536)
    floor (27643.5)     		ty = 27643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23613 / 27643 ti = "16/23613/27643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23613/27643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23613 ÷ 216
    23613 ÷ 65536     		x = 0.360305786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27643 ÷ 216
    27643 ÷ 65536     		y = 0.421798706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360305786132812 × 2 - 1) × π
    -0.279388427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87772463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421798706054688 × 2 - 1) × π
    0.156402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.491353221105576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87772463} λ = -0.87772463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491353221105576))-π/2
    2×atan(1.63452659994432)-π/2
    2×1.02174700698534-π/2
    2.04349401397068-1.57079632675     		φ = 0.47269769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87772463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.289917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47269769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.083583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23613 KachelY 27643 -0.87772463 0.47269769 -50.289917 27.083583
    Oben rechts KachelX + 1 23614 KachelY 27643 -0.87762876 0.47269769 -50.284424 27.083583
    Unten links KachelX 23613 KachelY + 1 27644 -0.87772463 0.47261232 -50.289917 27.078691
    Unten rechts KachelX + 1 23614 KachelY + 1 27644 -0.87762876 0.47261232 -50.284424 27.078691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47269769-0.47261232) × R
    8.5370000000029e-05 × 6371000     		dl = 543.892270000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47269769-0.47261232) × R
    8.5370000000029e-05 × 6371000     		dr = 543.892270000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87772463--0.87762876) × cos(0.47269769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890343298667897 × 6371000     		do = 543.810797927797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87772463--0.87762876) × cos(0.47261232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890382163514449 × 6371000     		du = 543.834536100754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47269769)-sin(0.47261232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890343298667897-0.890382163514449)×R²
    abs(-0.87762876--0.87772463)×3.88648465513564e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88648465513564e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88648465513564e-05×40589641000000     		ar = 295780.945019489m²