Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23613 / 27639
↖ ↑ ↗
← N 27.103144°
W 50.289917°		 ← 543.72 m → N 27.103144°
W 50.284424°		 →
↑
543.76 m
↓
↑
543.76 m
↓
N 27.098254°
W 50.289917°		 ← 543.74 m →
295 660 m²		 N 27.098254°
W 50.284424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360313415527344 y=0.421745300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360313415527344 × 216)
    floor (0.360313415527344 × 65536)
    floor (23613.5)     		tx = 23613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421745300292969 × 216)
    floor (0.421745300292969 × 65536)
    floor (27639.5)     		ty = 27639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23613 / 27639 ti = "16/23613/27639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23613/27639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23613 ÷ 216
    23613 ÷ 65536     		x = 0.360305786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27639 ÷ 216
    27639 ÷ 65536     		y = 0.421737670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360305786132812 × 2 - 1) × π
    -0.279388427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87772463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421737670898438 × 2 - 1) × π
    0.156524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.491736716302536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87772463} λ = -0.87772463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491736716302536))-π/2
    2×atan(1.63515355325381)-π/2
    2×1.0219177132684-π/2
    2.0438354265368-1.57079632675     		φ = 0.47303910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87772463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.289917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47303910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.103144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23613 KachelY 27639 -0.87772463 0.47303910 -50.289917 27.103144
    Oben rechts KachelX + 1 23614 KachelY 27639 -0.87762876 0.47303910 -50.284424 27.103144
    Unten links KachelX 23613 KachelY + 1 27640 -0.87772463 0.47295375 -50.289917 27.098254
    Unten rechts KachelX + 1 23614 KachelY + 1 27640 -0.87762876 0.47295375 -50.284424 27.098254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47303910-0.47295375) × R
    8.5349999999984e-05 × 6371000     		dl = 543.764849999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47303910-0.47295375) × R
    8.5349999999984e-05 × 6371000     		dr = 543.764849999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87772463--0.87762876) × cos(0.47303910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890187806287542 × 6371000     		do = 543.715825083548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87772463--0.87762876) × cos(0.47295375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890226687972137 × 6371000     		du = 543.739573540976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47303910)-sin(0.47295375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890187806287542-0.890226687972137)×R²
    abs(-0.87762876--0.87772463)×3.88816845955375e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88816845955375e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88816845955375e-05×40589641000000     		ar = 295660.011036832m²