Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23610 / 27634
↖ ↑ ↗
← N 27.127591°
W 50.306396°		 ← 543.60 m → N 27.127591°
W 50.300903°		 →
↑
543.64 m
↓
↑
543.64 m
↓
N 27.122702°
W 50.306396°		 ← 543.62 m →
295 526 m²		 N 27.122702°
W 50.300903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360267639160156 y=0.421669006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360267639160156 × 216)
    floor (0.360267639160156 × 65536)
    floor (23610.5)     		tx = 23610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421669006347656 × 216)
    floor (0.421669006347656 × 65536)
    floor (27634.5)     		ty = 27634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23610 / 27634 ti = "16/23610/27634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23610/27634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23610 ÷ 216
    23610 ÷ 65536     		x = 0.360260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27634 ÷ 216
    27634 ÷ 65536     		y = 0.421661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360260009765625 × 2 - 1) × π
    -0.27947998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87801225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421661376953125 × 2 - 1) × π
    0.15667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.492216085298737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87801225} λ = -0.87801225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492216085298737))-π/2
    2×atan(1.63593758307604)-π/2
    2×1.02213105418211-π/2
    2.04426210836421-1.57079632675     		φ = 0.47346578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87801225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.306396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47346578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.127591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23610 KachelY 27634 -0.87801225 0.47346578 -50.306396 27.127591
    Oben rechts KachelX + 1 23611 KachelY 27634 -0.87791638 0.47346578 -50.300903 27.127591
    Unten links KachelX 23610 KachelY + 1 27635 -0.87801225 0.47338045 -50.306396 27.122702
    Unten rechts KachelX + 1 23611 KachelY + 1 27635 -0.87791638 0.47338045 -50.300903 27.122702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47346578-0.47338045) × R
    8.53299999999946e-05 × 6371000     		dl = 543.637429999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47346578-0.47338045) × R
    8.53299999999946e-05 × 6371000     		dr = 543.637429999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87801225--0.87791638) × cos(0.47346578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.889993332518149 × 6371000     		do = 543.597042883617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87801225--0.87791638) × cos(0.47338045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890032237500052 × 6371000     		du = 543.620805570755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47346578)-sin(0.47338045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889993332518149-0.890032237500052)×R²
    abs(-0.87791638--0.87801225)×3.89049819037313e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89049819037313e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89049819037313e-05×40589641000000     		ar = 295526.158671135m²