Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23609 / 27655
↖ ↑ ↗
← N 27.024877°
W 50.311890°		 ← 544.15 m → N 27.024877°
W 50.306396°		 →
↑
544.15 m
↓
↑
544.15 m
↓
N 27.019984°
W 50.311890°		 ← 544.18 m →
296 105 m²		 N 27.019984°
W 50.306396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360252380371094 y=0.421989440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360252380371094 × 216)
    floor (0.360252380371094 × 65536)
    floor (23609.5)     		tx = 23609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421989440917969 × 216)
    floor (0.421989440917969 × 65536)
    floor (27655.5)     		ty = 27655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23609 / 27655 ti = "16/23609/27655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23609/27655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23609 ÷ 216
    23609 ÷ 65536     		x = 0.360244750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27655 ÷ 216
    27655 ÷ 65536     		y = 0.421981811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360244750976562 × 2 - 1) × π
    -0.279510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87810813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421981811523438 × 2 - 1) × π
    0.156036376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.490202735514694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87810813} λ = -0.87810813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490202735514694))-π/2
    2×atan(1.63264718197212)-π/2
    2×1.02123470934602-π/2
    2.04246941869204-1.57079632675     		φ = 0.47167309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87810813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.311890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47167309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.024877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23609 KachelY 27655 -0.87810813 0.47167309 -50.311890 27.024877
    Oben rechts KachelX + 1 23610 KachelY 27655 -0.87801225 0.47167309 -50.306396 27.024877
    Unten links KachelX 23609 KachelY + 1 27656 -0.87810813 0.47158768 -50.311890 27.019984
    Unten rechts KachelX + 1 23610 KachelY + 1 27656 -0.87801225 0.47158768 -50.306396 27.019984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47167309-0.47158768) × R
    8.5410000000008e-05 × 6371000     		dl = 544.147110000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47167309-0.47158768) × R
    8.5410000000008e-05 × 6371000     		dr = 544.147110000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87810813--0.87801225) × cos(0.47167309) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.890809321181505 × 6371000     		do = 544.152192241161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87810813--0.87801225) × cos(0.47158768) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.890848126299601 × 6371000     		du = 544.175896404981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47167309)-sin(0.47158768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890809321181505-0.890848126299601)×R²
    abs(-0.87801225--0.87810813)×3.88051180961746e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.88051180961746e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.88051180961746e-05×40589641000000     		ar = 296105.292264308m²