Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23609 / 27633
↖ ↑ ↗
← N 27.132480°
W 50.311890°		 ← 543.63 m → N 27.132480°
W 50.306396°		 →
↑
543.64 m
↓
↑
543.64 m
↓
N 27.127591°
W 50.311890°		 ← 543.65 m →
295 544 m²		 N 27.127591°
W 50.306396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360252380371094 y=0.421653747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360252380371094 × 216)
    floor (0.360252380371094 × 65536)
    floor (23609.5)     		tx = 23609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421653747558594 × 216)
    floor (0.421653747558594 × 65536)
    floor (27633.5)     		ty = 27633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23609 / 27633 ti = "16/23609/27633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23609/27633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23609 ÷ 216
    23609 ÷ 65536     		x = 0.360244750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27633 ÷ 216
    27633 ÷ 65536     		y = 0.421646118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360244750976562 × 2 - 1) × π
    -0.279510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87810813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421646118164062 × 2 - 1) × π
    0.156707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.492311959097977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87810813} λ = -0.87810813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492311959097977))-π/2
    2×atan(1.63609443414629)-π/2
    2×1.02217371677054-π/2
    2.04434743354108-1.57079632675     		φ = 0.47355111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87810813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.311890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47355111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.132480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23609 KachelY 27633 -0.87810813 0.47355111 -50.311890 27.132480
    Oben rechts KachelX + 1 23610 KachelY 27633 -0.87801225 0.47355111 -50.306396 27.132480
    Unten links KachelX 23609 KachelY + 1 27634 -0.87810813 0.47346578 -50.311890 27.127591
    Unten rechts KachelX + 1 23610 KachelY + 1 27634 -0.87801225 0.47346578 -50.306396 27.127591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47355111-0.47346578) × R
    8.53299999999946e-05 × 6371000     		dl = 543.637429999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47355111-0.47346578) × R
    8.53299999999946e-05 × 6371000     		dr = 543.637429999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87810813--0.87801225) × cos(0.47355111) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.889954421056018 × 6371000     		do = 543.629975234255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87810813--0.87801225) × cos(0.47346578) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.889993332518149 × 6371000     		du = 543.653744358487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47355111)-sin(0.47346578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889954421056018-0.889993332518149)×R²
    abs(-0.87801225--0.87810813)×3.8911462131086e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.8911462131086e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.8911462131086e-05×40589641000000     		ar = 295544.063679369m²