Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23608 / 27646
↖ ↑ ↗
← N 27.068909°
W 50.317383°		 ← 543.88 m → N 27.068909°
W 50.311890°		 →
↑
543.89 m
↓
↑
543.89 m
↓
N 27.064018°
W 50.317383°		 ← 543.91 m →
295 820 m²		 N 27.064018°
W 50.311890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360237121582031 y=0.421852111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360237121582031 × 216)
    floor (0.360237121582031 × 65536)
    floor (23608.5)     		tx = 23608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421852111816406 × 216)
    floor (0.421852111816406 × 65536)
    floor (27646.5)     		ty = 27646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23608 / 27646 ti = "16/23608/27646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23608/27646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23608 ÷ 216
    23608 ÷ 65536     		x = 0.3602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27646 ÷ 216
    27646 ÷ 65536     		y = 0.421844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87820400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421844482421875 × 2 - 1) × π
    0.15631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.491065599707855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87820400} λ = -0.87820400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491065599707855))-π/2
    2×atan(1.63405654272153)-π/2
    2×1.02161895771064-π/2
    2.04323791542127-1.57079632675     		φ = 0.47244159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87820400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47244159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.068909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23608 KachelY 27646 -0.87820400 0.47244159 -50.317383 27.068909
    Oben rechts KachelX + 1 23609 KachelY 27646 -0.87810813 0.47244159 -50.311890 27.068909
    Unten links KachelX 23608 KachelY + 1 27647 -0.87820400 0.47235622 -50.317383 27.064018
    Unten rechts KachelX + 1 23609 KachelY + 1 27647 -0.87810813 0.47235622 -50.311890 27.064018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47244159-0.47235622) × R
    8.5370000000029e-05 × 6371000     		dl = 543.892270000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47244159-0.47235622) × R
    8.5370000000029e-05 × 6371000     		dr = 543.892270000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87820400--0.87810813) × cos(0.47244159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890459869189236 × 6371000     		do = 543.881997776573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87820400--0.87810813) × cos(0.47235622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890498714568284 × 6371000     		du = 543.905724059017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47244159)-sin(0.47235622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890459869189236-0.890498714568284)×R²
    abs(-0.87810813--0.87820400)×3.88453790478582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88453790478582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88453790478582e-05×40589641000000     		ar = 295819.666833401m²