Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23603 / 27724
↖ ↑ ↗
← N 26.686730°
W 50.344849°		 ← 545.72 m → N 26.686730°
W 50.339356°		 →
↑
545.80 m
↓
↑
545.80 m
↓
N 26.681821°
W 50.344849°		 ← 545.75 m →
297 864 m²		 N 26.681821°
W 50.339356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360160827636719 y=0.423042297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360160827636719 × 216)
    floor (0.360160827636719 × 65536)
    floor (23603.5)     		tx = 23603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423042297363281 × 216)
    floor (0.423042297363281 × 65536)
    floor (27724.5)     		ty = 27724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23603 / 27724 ti = "16/23603/27724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23603/27724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23603 ÷ 216
    23603 ÷ 65536     		x = 0.360153198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27724 ÷ 216
    27724 ÷ 65536     		y = 0.42303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360153198242188 × 2 - 1) × π
    -0.279693603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87868337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42303466796875 × 2 - 1) × π
    0.1539306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.483587443367126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87868337} λ = -0.87868337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483587443367126))-π/2
    2×atan(1.62188238927124)-π/2
    2×1.01828381174789-π/2
    2.03656762349578-1.57079632675     		φ = 0.46577130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87868337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.344849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46577130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.686730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23603 KachelY 27724 -0.87868337 0.46577130 -50.344849 26.686730
    Oben rechts KachelX + 1 23604 KachelY 27724 -0.87858750 0.46577130 -50.339356 26.686730
    Unten links KachelX 23603 KachelY + 1 27725 -0.87868337 0.46568563 -50.344849 26.681821
    Unten rechts KachelX + 1 23604 KachelY + 1 27725 -0.87858750 0.46568563 -50.339356 26.681821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46577130-0.46568563) × R
    8.56699999999821e-05 × 6371000     		dl = 545.803569999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46577130-0.46568563) × R
    8.56699999999821e-05 × 6371000     		dr = 545.803569999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87868337--0.87858750) × cos(0.46577130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893475431265398 × 6371000     		do = 545.723866212369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87868337--0.87858750) × cos(0.46568563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893513903417844 × 6371000     		du = 545.747364532568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46577130)-sin(0.46568563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893475431265398-0.893513903417844)×R²
    abs(-0.87858750--0.87868337)×3.84721524456788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84721524456788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84721524456788e-05×40589641000000     		ar = 297864.447328437m²