Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23601 / 27733
↖ ↑ ↗
← N 26.642549°
W 50.355835°		 ← 545.99 m → N 26.642549°
W 50.350342°		 →
↑
545.99 m
↓
↑
545.99 m
↓
N 26.637639°
W 50.355835°		 ← 546.02 m →
298 115 m²		 N 26.637639°
W 50.350342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360130310058594 y=0.423179626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360130310058594 × 216)
    floor (0.360130310058594 × 65536)
    floor (23601.5)     		tx = 23601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423179626464844 × 216)
    floor (0.423179626464844 × 65536)
    floor (27733.5)     		ty = 27733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23601 / 27733 ti = "16/23601/27733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23601/27733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23601 ÷ 216
    23601 ÷ 65536     		x = 0.360122680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27733 ÷ 216
    27733 ÷ 65536     		y = 0.423171997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360122680664062 × 2 - 1) × π
    -0.279754638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87887512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423171997070312 × 2 - 1) × π
    0.153656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.482724579173965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87887512} λ = -0.87887512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.482724579173965))-π/2
    2×atan(1.62048352863219)-π/2
    2×1.01789826310729-π/2
    2.03579652621458-1.57079632675     		φ = 0.46500020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87887512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.355835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46500020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.642549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23601 KachelY 27733 -0.87887512 0.46500020 -50.355835 26.642549
    Oben rechts KachelX + 1 23602 KachelY 27733 -0.87877924 0.46500020 -50.350342 26.642549
    Unten links KachelX 23601 KachelY + 1 27734 -0.87887512 0.46491450 -50.355835 26.637639
    Unten rechts KachelX + 1 23602 KachelY + 1 27734 -0.87877924 0.46491450 -50.350342 26.637639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46500020-0.46491450) × R
    8.56999999999664e-05 × 6371000     		dl = 545.994699999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46500020-0.46491450) × R
    8.56999999999664e-05 × 6371000     		dr = 545.994699999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87887512--0.87877924) × cos(0.46500020) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.893821475922142 × 6371000     		do = 545.992171423099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87887512--0.87877924) × cos(0.46491450) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.893859902489168 × 6371000     		du = 546.015644348438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46500020)-sin(0.46491450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893821475922142-0.893859902489168)×R²
    abs(-0.87877924--0.87887512)×3.84265670254624e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.84265670254624e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.84265670254624e-05×40589641000000     		ar = 298115.240067144m²