Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2360 / 1807
↖ ↑ ↗
← N 20.715015°
E 27.421875°		 ← 9 141.18 m → N 20.715015°
E 27.509766°		 →
↑
9 143.66 m
↓
↑
9 143.66 m
↓
N 20.632784°
E 27.421875°		 ← 9 146.13 m →
83 606 455 m²		 N 20.632784°
E 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5762939453125 y=0.4412841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5762939453125 × 212)
    floor (0.5762939453125 × 4096)
    floor (2360.5)     		tx = 2360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4412841796875 × 212)
    floor (0.4412841796875 × 4096)
    floor (1807.5)     		ty = 1807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2360 / 1807 ti = "12/2360/1807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2360/1807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2360 ÷ 212
    2360 ÷ 4096     		x = 0.576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1807 ÷ 212
    1807 ÷ 4096     		y = 0.441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576171875 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441162109375 × 2 - 1) × π
    0.11767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.369689369869873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47860201} λ = 0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369689369869873))-π/2
    2×atan(1.44728497451109)-π/2
    2×0.966170772837346-π/2
    1.93234154567469-1.57079632675     		φ = 0.36154522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36154522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.715015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2360 KachelY 1807 0.47860201 0.36154522 27.421875 20.715015
    Oben rechts KachelX + 1 2361 KachelY 1807 0.48013599 0.36154522 27.509766 20.715015
    Unten links KachelX 2360 KachelY + 1 1808 0.47860201 0.36011002 27.421875 20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 2361 KachelY + 1 1808 0.48013599 0.36011002 27.509766 20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36154522-0.36011002) × R
    0.00143520000000003 × 6371000     		dl = 9143.65920000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36154522-0.36011002) × R
    0.00143520000000003 × 6371000     		dr = 9143.65920000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47860201-0.48013599) × cos(0.36154522) × R
    0.00153397999999999 × 0.935351365381345 × 6371000     		do = 9141.1763414565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47860201-0.48013599) × cos(0.36011002) × R
    0.00153397999999999 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 9146.1282690089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36154522)-sin(0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935351365381345-0.935858060802633)×R²
    abs(0.48013599-0.47860201)×0.000506695421288117×R²
    0.00153397999999999×0.000506695421288117×6371000²
    0.00153397999999999×0.000506695421288117×40589641000000     		ar = 83606454.8733836m²