Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2360 / 1704
↖ ↑ ↗
← N 28.921631°
E 27.421875°		 ← 8 554.12 m → N 28.921631°
E 27.509766°		 →
↑
8 557.27 m
↓
↑
8 557.27 m
↓
N 28.844674°
E 27.421875°		 ← 8 560.46 m →
73 227 069 m²		 N 28.844674°
E 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5762939453125 y=0.4161376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5762939453125 × 212)
    floor (0.5762939453125 × 4096)
    floor (2360.5)     		tx = 2360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4161376953125 × 212)
    floor (0.4161376953125 × 4096)
    floor (1704.5)     		ty = 1704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2360 / 1704 ti = "12/2360/1704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2360/1704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2360 ÷ 212
    2360 ÷ 4096     		x = 0.576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1704 ÷ 212
    1704 ÷ 4096     		y = 0.416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576171875 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416015625 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47860201} λ = 0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527689391017578))-π/2
    2×atan(1.69501127210133)-π/2
    2×1.03778700885387-π/2
    2.07557401770774-1.57079632675     		φ = 0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2360 KachelY 1704 0.47860201 0.50477769 27.421875 28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 2361 KachelY 1704 0.48013599 0.50477769 27.509766 28.921631
    Unten links KachelX 2360 KachelY + 1 1705 0.47860201 0.50343453 27.421875 28.844674
    Unten rechts KachelX + 1 2361 KachelY + 1 1705 0.48013599 0.50343453 27.509766 28.844674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50477769-0.50343453) × R
    0.0013431599999999 × 6371000     		dl = 8557.27235999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50477769-0.50343453) × R
    0.0013431599999999 × 6371000     		dr = 8557.27235999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47860201-0.48013599) × cos(0.50477769) × R
    0.00153397999999999 × 0.875282008031053 × 6371000     		do = 8554.11931820288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47860201-0.48013599) × cos(0.50343453) × R
    0.00153397999999999 × 0.875930787757238 × 6371000     		du = 8560.45983376026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50477769)-sin(0.50343453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875282008031053-0.875930787757238)×R²
    abs(0.48013599-0.47860201)×0.000648779726185156×R²
    0.00153397999999999×0.000648779726185156×6371000²
    0.00153397999999999×0.000648779726185156×40589641000000     		ar = 73227068.5740063m²