Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 236 / 158
↖ ↑ ↗
← N 56.559482°
W 14.062500°		 ← 43.085 km → N 56.559482°
W 13.359375°		 →
↑
43.306 km
↓
↑
43.306 km
↓
N 56.170023°
W 14.062500°		 ← 43.527 km →
1 875.42 km²		 N 56.170023°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4619140625 y=0.3095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4619140625 × 29)
    floor (0.4619140625 × 512)
    floor (236.5)     		tx = 236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3095703125 × 29)
    floor (0.3095703125 × 512)
    floor (158.5)     		ty = 158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 236 / 158 ti = "9/236/158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/236/158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 236 ÷ 29
    236 ÷ 512     		x = 0.4609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 158 ÷ 29
    158 ÷ 512     		y = 0.30859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4609375 × 2 - 1) × π
    -0.078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30859375 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24543693} λ = -0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20264093766797))-π/2
    2×atan(3.32889673294267)-π/2
    2×1.27897275967083-π/2
    2.55794551934167-1.57079632675     		φ = 0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 236 KachelY 158 -0.24543693 0.98714919 -14.062500 56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 237 KachelY 158 -0.23316508 0.98714919 -13.359375 56.559482
    Unten links KachelX 236 KachelY + 1 159 -0.24543693 0.98035184 -14.062500 56.170023
    Unten rechts KachelX + 1 237 KachelY + 1 159 -0.23316508 0.98035184 -13.359375 56.170023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98714919-0.98035184) × R
    0.00679735000000004 × 6371000     		dl = 43305.9168500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98714919-0.98035184) × R
    0.00679735000000004 × 6371000     		dr = 43305.9168500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24543693--0.23316508) × cos(0.98714919) × R
    0.01227185 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 43084.9093633007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24543693--0.23316508) × cos(0.98035184) × R
    0.01227185 × 0.556730310100116 × 6371000     		du = 43527.3782635894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98714919)-sin(0.98035184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.556730310100116)×R²
    abs(-0.23316508--0.24543693)×0.0056593311587857×R²
    0.01227185×0.0056593311587857×6371000²
    0.01227185×0.0056593311587857×40589641000000     		ar = 1875419484.06977m²