Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 236 / 108
↖ ↑ ↗
← N 80.415708°
W 97.031250°		 ← 6 508.75 m → N 80.415708°
W 96.679688°		 →
↑
6 528.49 m
↓
↑
6 528.49 m
↓
N 80.356996°
W 97.031250°		 ← 6 548.24 m →
42 621 229 m²		 N 80.356996°
W 96.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23095703125 y=0.10595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23095703125 × 210)
    floor (0.23095703125 × 1024)
    floor (236.5)     		tx = 236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10595703125 × 210)
    floor (0.10595703125 × 1024)
    floor (108.5)     		ty = 108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 236 / 108 ti = "10/236/108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/236/108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 236 ÷ 210
    236 ÷ 1024     		x = 0.23046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 108 ÷ 210
    108 ÷ 1024     		y = 0.10546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23046875 × 2 - 1) × π
    -0.5390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69351479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10546875 × 2 - 1) × π
    0.7890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47891295315234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69351479} λ = -1.69351479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47891295315234))-π/2
    2×atan(11.9282907567729)-π/2
    2×1.48715759600613-π/2
    2.97431519201227-1.57079632675     		φ = 1.40351887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69351479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40351887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.415708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 236 KachelY 108 -1.69351479 1.40351887 -97.031250 80.415708
    Oben rechts KachelX + 1 237 KachelY 108 -1.68737887 1.40351887 -96.679688 80.415708
    Unten links KachelX 236 KachelY + 1 109 -1.69351479 1.40249415 -97.031250 80.356996
    Unten rechts KachelX + 1 237 KachelY + 1 109 -1.68737887 1.40249415 -96.679688 80.356996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40351887-1.40249415) × R
    0.00102471999999998 × 6371000     		dl = 6528.49111999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40351887-1.40249415) × R
    0.00102471999999998 × 6371000     		dr = 6528.49111999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69351479--1.68737887) × cos(1.40351887) × R
    0.00613591999999996 × 0.166498428261839 × 6371000     		do = 6508.74761997612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69351479--1.68737887) × cos(1.40249415) × R
    0.00613591999999996 × 0.167508757340305 × 6371000     		du = 6548.24335007707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40351887)-sin(1.40249415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166498428261839-0.167508757340305)×R²
    abs(-1.68737887--1.69351479)×0.00101032907846654×R²
    0.00613591999999996×0.00101032907846654×6371000²
    0.00613591999999996×0.00101032907846654×40589641000000     		ar = 42621228.5305003m²