Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23599 / 27729
N 26.662187°
W 50.366822°
← 545.90 m → N 26.662187°
W 50.361328°

545.87 m

545.87 m
N 26.657278°
W 50.366822°
← 545.92 m →
297 994 m²
N 26.657278°
W 50.361328°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360099792480469 y=0.423118591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360099792480469 × 216)
    floor (0.360099792480469 × 65536)
    floor (23599.5)
    tx = 23599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423118591308594 × 216)
    floor (0.423118591308594 × 65536)
    floor (27729.5)
    ty = 27729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23599 / 27729 ti = "16/23599/27729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23599/27729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23599 ÷ 216
    23599 ÷ 65536
    x = 0.360092163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27729 ÷ 216
    27729 ÷ 65536
    y = 0.423110961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.360092163085938 × 2 - 1) × π
    -0.279815673828125 × 3.1415926535
    Λ = -0.87906687
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.423110961914062 × 2 - 1) × π
    0.153778076171875 × 3.1415926535
    Φ = 0.483108074370926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87906687} λ = -0.87906687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483108074370926))-π/2
    2×atan(1.6211050954585)-π/2
    2×1.01806963648967-π/2
    2.03613927297933-1.57079632675
    φ = 0.46534295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87906687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.366822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46534295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.662187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23599 KachelY 27729 -0.87906687 0.46534295 -50.366822 26.662187
    Oben rechts KachelX + 1 23600 KachelY 27729 -0.87897099 0.46534295 -50.361328 26.662187
    Unten links KachelX 23599 KachelY + 1 27730 -0.87906687 0.46525727 -50.366822 26.657278
    Unten rechts KachelX + 1 23600 KachelY + 1 27730 -0.87897099 0.46525727 -50.361328 26.657278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.46534295-0.46525727) × R
    8.56799999999769e-05 × 6371000
    dl = 545.867279999853m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.46534295-0.46525727) × R
    8.56799999999769e-05 × 6371000
    dr = 545.867279999853m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87906687--0.87897099) × cos(0.46534295) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.893667726446701 × 6371000
    do = 545.898253327844m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87906687--0.87897099) × cos(0.46525727) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.8937061702938 × 6371000
    du = 545.921736808742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.46534295)-sin(0.46525727))×
    abs(λ12)×abs(0.893667726446701-0.8937061702938)×
    abs(-0.87897099--0.87906687)×3.84438470991677e-05×
    9.58799999999371e-05×3.84438470991677e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.84438470991677e-05×40589641000000
    ar = 297994.404315003m²